K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

Đề có nhầm k vậy????

.

.

11 tháng 3 2020

Đề ko nhầm nha!!! giải giúp mk đi

24 tháng 12 2019

a) \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2+2ab+b^2}{4}-ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng \(\forall a,b\) )

=>đpcm

25 tháng 12 2019

Cô si

\(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2\sqrt{\frac{bc}{a}\cdot\frac{ca}{b}}=2c\)

\(\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge2\sqrt{\frac{ca}{b}\cdot\frac{ab}{c}}=2a\)

\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c}\cdot\frac{bc}{a}}=2b\)

Cộng lại ta có:

\(2\left(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\Rightarrowđpcm\)

12 tháng 10 2017

Áp dụng bđt Holder, ta có:

\(\left(\sqrt{\frac{ab}{a^2+b^2}}+\sqrt{\frac{bc}{b^2+c^2}}+\sqrt{\frac{ca}{c^2+a^2}}\right).\left(\sqrt{\frac{ab}{a^2+b^2}}+\sqrt{\frac{bc}{b^2+c^2}}+\sqrt{\frac{ca}{c^2+a^2}}\right)\left[a^2b^2\left(a^2+b^2\right)+b^2c^2\left(b^2+c^2\right)+c^2a^2\left(c^2+a^2\right)\right]\ge\left(ab+bc+ca\right)^3=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^3}{8}\)

=>\(VT^2\ge\frac{1}{8}.\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^3}{a^2b^4+a^4b^2+b^2c^4+b^4c^2+c^2a^4+c^4a^2}\)

Đặt a2=x, b2=y, c2=z

=>\(VT^2\ge\frac{1}{8}.\frac{\left(x+y+z\right)^3}{x^2y+xy^2+y^2z+y^2z+z^2x+zx^2}\)(1)

Theo bđt Schur, ta có:

\(x\left(x-y\right)\left(x-z\right)+y\left(y-z\right)\left(y-x\right)+z\left(z-x\right)\left(z-y\right)\ge0\)

<=>\(x^3+y^3+z^3+3xyz\ge x^2y+xy^2+y^2z+y^2z+z^2x+zx^2\)

<=>\(x^3+y^3+z^3+6xyz+3\left(x^2y+xy^2+y^2z+y^2z+z^2x+zx^2\right)\ge4.\left(x^2y+xy^2+y^2z+y^2z+z^2x+zx^2\right)+3xyz\)

Vì \(xyz=\left(abc\right)^2\ge0\)

=>\(\left(x+y+z\right)^3\ge4\left(x^2y+xy^2+y^2z+y^2z+z^2x+zx^2\right)\)

=>\(\frac{\left(x+y+z\right)^3}{x^2y+xy^2+y^2z+y^2z+z^2x+zx^2}\ge4\)

Thay vào (1)=>\(VT^2\ge\frac{1}{2}=>VT\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\)

=>ĐPCM

13 tháng 10 2017

a,b,c>=0 mới được nhé

Đặt biểu thức là A

\(\sqrt{\frac{ab}{a^2+b^2}}=\frac{\sqrt{ab\left(a^2+b^2\right)}}{a^2+b^2}>=\frac{\sqrt{2abab}}{a^2}=\frac{\sqrt{2}ab}{a^2+b^2}\)

Dấu = xảy ra khi có một trong 2 số a,b =0 hoặc a=b.

Tương tự=> A>=\(\frac{\sqrt{2}ab}{a^2+b^2}+\frac{\sqrt{2}bc}{b^2+c^2}+\frac{\sqrt{2}ca}{a^2+c^2}\)

\(\sqrt{2}A>=\frac{2ab}{a^2+b^2}+\frac{2bc}{b^2+c^2}+\frac{2ca}{c^2+a^2}\)

\(\sqrt{2}A+3>=\frac{\left(a+b\right)^2}{a^2+b^2}+\frac{\left(b+c\right)^2}{b^2+c^2}+\frac{\left(c+a\right)^2}{c^2+a^2}.\)

>=\(\frac{\left(2a+2b+2c\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{4\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}=4.\)

=>A>=1/căn 2

Dấu = xảy ra khi 2 số bằng nhau, một số =0

25 tháng 1 2020

1) \(\Sigma\frac{a}{b^3+ab}=\Sigma\left(\frac{1}{b}-\frac{b}{a+b^2}\right)\ge\Sigma\frac{1}{a}-\Sigma\frac{1}{2\sqrt{a}}=\Sigma\left(\frac{1}{a}-\frac{2}{\sqrt{a}}+1\right)+\Sigma\frac{3}{2\sqrt{a}}-3\)

\(\ge\Sigma\left(\frac{1}{\sqrt{a}}-1\right)^2+\frac{27}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}-3\ge\frac{27}{2\sqrt{3\left(a+b+c\right)}}-3=\frac{3}{2}\)

25 tháng 1 2020

2.

Vỉ \(ab+bc+ca+abc=4\)thi luon ton tai \(a=\frac{2x}{y+z};b=\frac{2y}{z+x};c=\frac{2z}{x+y}\)

\(\Rightarrow VT=2\Sigma_{cyc}\sqrt{\frac{ab}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\le2\Sigma_{cyc}\frac{\frac{b}{b+c}+\frac{a}{c+a}}{2}=3\)

19 tháng 3 2019

\(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}=\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ac}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ac}=\frac{\left(ab+bc+ac\right)^2}{ab+bc+ca}=ab+bc+ac\)

\("="\Leftrightarrow a=b=c\)

NV
19 tháng 3 2019

\(\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ac}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+ac+bc}\ge\frac{\left(ab+ac+bc\right)^2}{ab+ac+bc}=ab+ac+bc\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

28 tháng 7 2019

Đề chơi căng nhỉ?

a) Dễ chứng minh VP =< 3

BĐT \(\Leftrightarrow\left(\frac{a+b}{1+a}-1\right)+\left(\frac{b+c}{1+b}-1\right)+\left(\frac{c+a}{1+c}-1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{b-1}{1+a}+\frac{c-1}{1+b}+\frac{a-1}{1+c}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(b-1\right)^2}{\left(1+a\right)\left(b-1\right)}+\frac{\left(c-1\right)^2}{\left(1+b\right)\left(c-1\right)}+\frac{\left(a-1\right)^2}{\left(1+c\right)\left(a-1\right)}\) >=0

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel vào VT ta có đpcm.

P/s: Èo, sao đơn giản thế nhỉ? Em có làm sai chỗ nào chăng?

28 tháng 7 2019

èo, sai rồi:( đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1 nên cái mẫu = 0 do đó vô lí => bài em sai mất rồi:(( hicc

7 tháng 8 2016

Sử dụng bđt Côsi:

\(\frac{a^3}{b}+ab\ge2\sqrt{\frac{a^3}{b}.ab}=2a^2\)

Tương tự và suy ra:

\(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}+ab+bc+ca\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

Thu gọn lại, ta có đpcm.

7 tháng 8 2016

a^3/b +a^3/b +b^2 >=3.a^2 
=>2a^3/b +b^2>=3a^2 
Cm tương tự : 
2b^3/c +c^2 >=3.b^2 
2c^3/a +a^2 >=3.c^2 
Cộng vế ta đc  : 
2(a^3/b+b^3/c+c^3/a) +(a^2+b^2+c^2) >=3.(a^2+b^2+c^2) 
=>a^3/b+b^3/c+c^3/a >=a^2+b^2+c^2 
Mặt khác : 
a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca 
nên
a^3/b+b^3/c+c^3/a >=ab+bc+ca Dấu
 = xảy ra khi a=b=c

24 tháng 8 2015

Áp dụng BĐT Cô- si cho 2 số \(\frac{bc}{a};\frac{ca}{b}\) ta có:

\(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2\sqrt{\frac{bc}{a}.\frac{ca}{b}}=2c\)

Tương tự, \(\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge2\sqrt{\frac{ca}{b}.\frac{ab}{c}}=2a\)\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c}.\frac{bc}{a}}=2b\)

Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta được: \(2\left(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)

 => \(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge a+b+c\). Dấu "=" xảy ra khi a = b = c

17 tháng 9 2015

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy 2 số ta có:

\(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2\sqrt{\frac{bc}{a}.\frac{ca}{b}}=2\sqrt{c^2}=2c\)

\(\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge2\sqrt{\frac{ca}{b}.\frac{ab}{c}}=2\sqrt{a^2}=2a\)

\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c}.\frac{bc}{a}}=2\sqrt{b^2}=2b\)

Cộng từng vế 3 bất đẳng thức ta được : \(2\left(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)

=> đpcm

17 tháng 9 2015

trong cau hoi tuong tu vao day ma chep

2 tháng 1 2020

https://olm.vn/thanhvien/chibiverycute là con chó

2 tháng 1 2020

\(L.H.S=\Sigma_{cyc}\frac{a^2}{b}=\Sigma_{cyc}\left(\frac{a^2}{b}-a+b\right)=\Sigma_{cyc}\frac{a^2-ab+b^2}{b}\)

\(=\Sigma_{cyc}\left(\frac{a^2-ab+b^2}{b}+b\right)-\left(a+b+c\right)\)

\(\ge2\Sigma_{cyc}\sqrt{a^2-ab+b^2}-\left(a+b+c\right)\)

\(=\Sigma_{cyc}\sqrt{a^2-ab+b^2}+\Sigma_{cyc}\sqrt{\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2}-\left(a+b+c\right)\)

\(\ge\Sigma_{cyc}\sqrt{a^2-ab+b^2}+\Sigma_{cyc}\sqrt{\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2}-\left(a+b+c\right)=\Sigma_{cyc}\sqrt{a^2-ab+b^2}=R.H.S\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c