Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đề sai rồi: a,b,c > 0 thì làm sao mà có: ab + bc + ca = 0 được.
bai nay t lam roi vao trang chu cua nick thangbnsh cua t keo xuong tim la thay
Câu hỏi của Tuyển Trần Thị - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
Ta có: bc(a2+1) = (a+b)(a+c)
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{a}{\sqrt{bc\left(1+a^2\right)}}\) =\(\sqrt{\dfrac{a}{a+b}}.\sqrt{\dfrac{a}{a+c}}\)
Áp dụng BĐT Cô-si: \(\sqrt{\dfrac{a}{a+b}}.\sqrt{\dfrac{a}{a+c}}\) \(\le\) \(\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{a}{a+c}\right)\)
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{a}{\sqrt{bc\left(1+a^2\right)}}\) \(\le\) \(\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}\right)\)
CMTT: \(\dfrac{b}{\sqrt{ac\left(1+b^2\right)}}\) \(\le\) \(\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{b}{a+c}\right)\)
\(\dfrac{c}{\sqrt{ab\left(1+c^2\right)}}\) \(\le\) \(\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{c}{a+c}+\dfrac{c}{c+b}\right)\)
\(\Rightarrow\) S \(\le\) \(\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{b+a}+\dfrac{a}{c+a}+\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{b}{c+b}+\dfrac{c}{a+c}+\dfrac{c}{b+c}\right)\)
\(\Rightarrow\) S\(\le\) \(\dfrac{1}{2}.3=\dfrac{3}{2}\)
Vậy Smax = \(\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}a=b=c\\a+b+c=abc\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\) \(a=b=c=\sqrt{3}\)
Câu 3/ \(\sqrt{\left(x+z\right)^2+\left(y-t\right)^2}+\sqrt{\left(x-z\right)^2+\left(y+t\right)^2}\)
\(\le\sqrt{1+2xz-2yt}+\sqrt{1-2xz+2yt}\)
\(\le\dfrac{1+1+2xz-2yt}{2}+\dfrac{1+1-2xz+2yt}{2}=1+1=2\)
\(Q=\sum\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\sqrt{2\left(b+c\right)^2+bc}}\ge\sum\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\sqrt{2\left(b+c\right)^2+\dfrac{1}{4}\left(b+c\right)^2}}=\dfrac{2}{3}\sum\dfrac{\left(a+b\right)^2}{b+c}\)
\(Q\ge\dfrac{2}{3}.\dfrac{\left(a+b+b+c+c+a\right)^2}{a+b+b+c+c+a}=\dfrac{4}{3}\left(a+b+c\right)=\dfrac{4}{3}\)
câu 2 này ms làm tức thì nà
đầu tiên t c/m câu phụ \(\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\le\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\)
đặt P =VT ta có \(P\le\left|P\right|=\sqrt{P^2}\)
vậy ta c/m \(P^2\le\dfrac{27}{4}\)
<=> \(\left(a-b\right)^2\left(b-c\right)^2\left(c-a\right)^2\le\dfrac{27}{4}\)
không mất tính tổng wat giả sử \(a\ge b\ge c\) (2)
dễ thấy \(\left(b-c\right)^2\le b^2;\left(c-a\right)^2\le a^2\)
=> c/m :\(a^2b^2\left(a-b\right)^2\le\dfrac{27}{4}\Leftrightarrow4a^2b^2\left(a-b\right)^2\le\dfrac{27}{4}\)
áp dụng AM-GM ta có
\(4a^2b^2\left(a-b\right)^2=\left(2ab\right)\left(2ab\right)\left(a^2-2ab+b^2\right)\le\left[\dfrac{2\left(2ab\right)+\left(a^2-2ab+b^2\right)}{3}\right]^3=\left(\dfrac{a^2+2ab+b^2}{3}\right)^3=\dfrac{\left(a+b\right)^6}{27}\)
mặt khác từ (2) ta có \(a+b\le a+b+c=3\)
=>dpcm
@quay trở lại bài toán áp dụng câu phụ mik vừa ns c2 <=> c/m
\(\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\le\dfrac{243}{4}\)
nhân 3 cho 2 vế r áp dụng AM-GM
\(\left(a^3+b^3+c^3\right)3\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(c+b\right)\)\(\le\dfrac{\left[a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right]^2}{4}=\dfrac{\left(a+b+c\right)^6}{4}=\dfrac{729}{4}\)
=> dpcm
giúp jum t @Neet;@Ace Legona (có cách khác AM-GM thì qá tốt nha!!)
Lời giải:
\(a+b+c=abc\)
\(\Rightarrow a(a+b+c)=a^2bc\)
\(\Rightarrow a(a+b+c)+bc=a^2bc+bc\)
\(\Rightarrow (a+b)(a+c)=bc(a^2+1)\)
\(\Rightarrow \frac{a}{\sqrt{bc(a^2+1)}}=\frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leq \frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}\right)\) (theo BĐT AM-GM ngược dấu)
Hoàn toàn tương tự:
\(\frac{b}{\sqrt{ca(b^2+1)}}\leq \frac{1}{2}\left(\frac{b}{b+a}+\frac{b}{b+c}\right)\)
\(\frac{c}{\sqrt{ab(c^2+1)}}\leq \frac{1}{2}\left(\frac{c}{c+a}+\frac{c}{c+b}\right)\)
Cộng theo vế những BĐT thu được ở trên ta có:
\(S\leq \frac{1}{2}\left(\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+a}{c+a}\right)=\frac{3}{2}\)
Vậy \(S_{\max}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{3}\)