HT
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
IT
1
22 tháng 7 2019
Giả sử \(1+a\ge b+c\)
Ta có \(1+a^3=b^3+c^3\)
\(\Leftrightarrow\left(1+a\right)\left(a^2-a+1\right)=\left(b+c\right)\left(b^2-bc+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2-a+1}{b^2-bc+c^2}=\frac{b+c}{1+a}\le1\)
\(\Rightarrow a^2-a+1\le b^2-bc+c^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a+1\right)^2-3a\le\left(b+c\right)^2-3bc\)(Vô lí vì giả sử a+1 > b+c và giả thiết a<bc)
Vậy điều giả sử là sai nên ta có dpcm
NA
2
NT
6 tháng 3 2016
https://www.facebook.com/OnThiDaiHocKhoiA/posts/508217699295984
NN
0
AS
1
TN
23 tháng 5 2017
Ta có: \(\left(a-1\right)^3=a^3-3a^2+3a-1\)
\(=a\left(a^2-3a+3\right)-1=a\left(a-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{3}{4}a-1\ge\frac{3}{4}a-1\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:
\(\left(b-1\right)^3\ge\frac{3}{4}b-1;\left(c-1\right)^3\ge\frac{3}{4}c-1\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(VT\ge\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)-3=\frac{3}{4}\cdot3-3=-\frac{3}{4}\)
+ \(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\ge2\Rightarrow\frac{1}{1+a}\ge\left(1-\frac{1}{1+b}\right)+\left(1-\frac{1}{1+c}\right)\) \(\Rightarrow\frac{1}{1+a}\ge\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\ge2\sqrt{\frac{bc}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)
Dấu "=" \(\Leftrightarrow b=c\)
+ Tương tự : \(\frac{1}{1+b}\ge2\sqrt{\frac{ca}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}}\) Dấu "=" \(\Leftrightarrow c=a\)
\(\frac{1}{1+c}\ge2\sqrt{\frac{ab}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}}\) Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b\)
Do đó \(\frac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge8\sqrt{\frac{a^2b^2c^2}{\left(1+a\right)^2\left(1+b\right)^2\left(1+c\right)^2}}=\frac{8abc}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\)
\(\Rightarrow abc\le\frac{1}{8}\) Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}\)