Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\left(1^2+1^2+1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)\ge\left(a+b+c+d\right)^2\)
\(\Rightarrow4\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)\ge\left(a+b+c+d\right)^2=1\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2\ge\dfrac{1}{4}\)
Lại có:
\(a^2+b^2+c^2+d^2\ge ab+bc+cd+da\forall a,b,c,d\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}>\dfrac{1}{4}\ge ab+bc+ca+da\) (ĐPCM)
(a,b,c khác 0 nữa)
\(\dfrac{ab+1}{b}=\dfrac{bc+1}{c}=\dfrac{ca+1}{a}\)
\(\Leftrightarrow a+\dfrac{1}{b}=b+\dfrac{1}{c}=c+\dfrac{1}{a}\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b=\dfrac{c-b}{bc}\\b-c=\dfrac{a-c}{ca}\\c-a=\dfrac{b-a}{ab}\end{matrix}\right.\)(1)
Xét a=b hoặc b=c hoặc c=a thì=>a=b=c
Xét \(a\ne b\ne c\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)=\dfrac{\left(c-b\right)\left(a-c\right)\left(b-a\right)}{a^2b^2c^2}\)
\(\Leftrightarrow-1=\dfrac{1}{a^2b^2c^2}\)(vô nghiệm)
Vậy ...
1) 2( a2 + b2 ) ≥ ( a + b)2
<=> 2a2 + 2b2 - a2 - 2ab - b2 ≥ 0
<=> a2 - 2ab + b2 ≥ 0
<=> ( a - b )2 ≥ 0 ( luôn đúng )
=> đpcm
2) Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương x , y , ta có :
a + b ≥ \(2\sqrt{ab}\)
=> \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) ≥ 2\(\sqrt{\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{y}}\)
=> ( x + y)( \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) ) ≥ \(2\sqrt{xy}\)2\(\sqrt{\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{y}}\)
=> ( x + y)( \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\)) ≥ 4
=> \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) ≥ \(\dfrac{4}{x+y}\)
Ta có: \(0\le\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\)(1)
theo đề bài:
\(a^2+b^2+ab+bc+ac< 0\)
=> \(2\left(a^2+b^2+ab+bc+ac\right)< 0\)
=> \(2a^2+2b^2+2ab+2bc+2ac< 0\)(2)
Từ (1); (2) =>\(2a^2+2b^2+2ab+2bc+2ac< \) \(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\)
=> \(a^2+b^2< c^2\)
Bài 1:
Áp dụng BĐt cauchy dạng phân thức:
\(\dfrac{1}{2x+y}+\dfrac{1}{x+2y}\ge\dfrac{4}{3\left(x+y\right)}\)
\(\Rightarrow\left(3x+3y\right)\left(\dfrac{1}{2x+y}+\dfrac{1}{x+2y}\right)\ge\left(3x+3y\right).\dfrac{4}{3x+3y}=4\)
dấu = xảy ra khi 2x+y=x+2y <=> x=y
Bài 2:
ta có: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}\ge\dfrac{4^2}{a+b+c+d}=\dfrac{16}{a+b+c+d}\)(theo BĐt cauchy-schwarz)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a+b+c+d}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}\right)\)
Áp dụng BĐT trên vào bài toán ta có:
\(A=\dfrac{1}{2a+b+c}+\dfrac{1}{a+2b+c}+\dfrac{1}{a+b+2c}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{c}\right)\)\(A\le\dfrac{1}{16}.4\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
......
dấu = xảy ra khi a=b=c
Bài 2:
Áp dụng BĐT cauchy cho 2 số dương:
\(a^2+1\ge2a\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{a^2+1}\le\dfrac{a}{2a}=\dfrac{1}{2}\)
thiết lập tương tự:\(\dfrac{b}{b^2+1}\le\dfrac{1}{2};\dfrac{c}{c^2+1}\le\dfrac{1}{2}\)
cả 2 vế các BĐT đều dương ,cộng vế với vế,ta có dpcm
dấu = xảy ra khi a=b=c=1
Ta có:
\(a+b+c=1\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=1\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=1\)
\(\Rightarrow2ab+2ac+2bc=1-a^2-b^2-c^2\)
\(\Rightarrow2\left(ab+ac+bc\right)=1-a^2-b^2-c^2\)
Vì \(1-a^2-b^2-c^2< 1\)
\(\Rightarrow2\left(ab+ac+bc\right)< 1\)
\(\Rightarrow ab+ac+bc< \dfrac{1}{2}\)
a + b + c =1 ⇔ (a + b + c)2 = 1
⇔ a2 + b2 + c2 + 2ab +2ac +2bc = 1
⇔2(ab + bc +ca) = 1 - a2 + b2 + c2
⇒2(ab + bc + ca) < 1
⇔ ab + bc +ca < \(\dfrac{1}{2}\)