Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cay, đánh xong rồi tự nhiên bấm hủy :v
Ta có:\(x+y+z=xyz\Leftrightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=1\)
Đặt \(\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\right)\rightarrow\left(a;b;c\right)\Rightarrow ab+bc+ca=1\)
Khi đó:
\(A=\frac{a^2\left(1+2b\right)}{b}+\frac{b^2\left(1+2c\right)}{c}+\frac{c^2\left(1+2a\right)}{a}\)
\(=\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}+2\cdot\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
\(=a+b+c+\frac{2\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
\(\ge\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}+\frac{6\left(ab+bc+ca\right)}{3}\)
\(=2+\sqrt{3}\)
Đẳng thức xảy ra tại \(x=y=z=\sqrt{3}\)
zZz Cool Kid_new zZz. Sai đề rồi bạn êii !
Nếu bạn đặt như vậy thì
\(A=\frac{y-2}{x^2}+\frac{z-2}{y^2}+\frac{x-2}{z^2}\)
\(=\frac{a^2\left(1-2b\right)}{b}+\frac{b^2\left(1-2c\right)}{c}+\frac{c^2\left(1-2a\right)}{a}\)
\(=\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}-2.\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\frac{x}{x+2}+\frac{y}{y+2}=2-2\left(\frac{1}{x+2}+\frac{1}{y+2}\right)\le2-2.\frac{4}{x+2+y+2}=2-\frac{8}{4-z}\)
Cần CM: \(2-\frac{8}{4-z}+\frac{z}{z+8}\le\frac{1}{3}\)
\(\Leftrightarrow\frac{8\left(z-2\right)^2}{3\left(4-z\right)\left(z+8\right)}\ge0\)
bđt trên đúng do \(4-z=\left(x+2\right)+\left(y+2\right)>0\)
1. \(1=x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow xy\le\frac{1}{2}\)
\(A=-2+\frac{2}{1+xy}\ge-2+\frac{2}{1+\frac{1}{2}}=-\frac{2}{3}\)
max A = -2/3 khi x=y=\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}=\frac{1}{x}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge\frac{1}{x}.\frac{4}{y+z}=\frac{4}{\left(4-t\right)t}=\frac{4}{4-\left(t-2\right)^2}\ge1\) với t = y+z => x =4 -t
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta được: \(2yz+2=x^2+\left(y^2+2yz+z^2\right)=x^2+\left(y+z\right)^2\ge2\sqrt{x^2.\left(y+z\right)^2}=2x\left(y+z\right)\Rightarrow yz+1\ge x\left(y+z\right)\)\(\Rightarrow VT\le\frac{x^2}{x^2+x+x\left(y+z\right)}+\frac{y+z}{x+y+z+1}+\frac{1}{xyz+3}=\frac{x+y+z}{x+y+z+1}+\frac{1}{xyz+3}\)
- Nếu \(x+y+z\le2\)thì \(VT\le1-\frac{1}{x+y+z+1}+\frac{1}{xyz+3}\le1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1\)
- Nếu \(x+y+z\ge2\), ta đặt x + y + z = p; xy + yz + zx = q; xyz = r thì áp dụng bất đẳng thức Schur, ta được \(VT\le\frac{p}{p+1}+\frac{1}{\frac{p\left(4q-p^2\right)}{9}+3}=\frac{p}{p+1}+\frac{9}{p^3-4p+27}\)
Khảo sát hàm trên với \(p\in\left[\sqrt{2};2\right]\)ta cũng có \(VT\le1\)
Vậy ta có: \(\frac{x^2}{x^2+yz+x+1}+\frac{y+z}{x+y+z+1}+\frac{1}{xyz+3}\le1\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = 1; z = 0
\(x\left(x-z\right)+y\left(y-z\right)=0\)\(\Leftrightarrow\)\(x^2+y^2=z\left(x+y\right)\)
\(\frac{x^3}{z^2+x^2}=x-\frac{z^2x}{z^2+x^2}\ge x-\frac{z^2x}{2zx}=x-\frac{z}{2}\)
\(\frac{y^3}{y^2+z^2}=y-\frac{yz^2}{y^2+z^2}\ge y-\frac{yz^2}{2yz}=y-\frac{z}{2}\)
\(\frac{x^2+y^2+4}{x+y}=\frac{z\left(x+y\right)+4}{x+y}=z-x-y+\frac{4}{x+y}+x+y\ge z-x-y+4\)
Cộng lại ra minP=4, dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
Từ giả thiết:\(x+y+z=xyz\Leftrightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=1\)
Đặt \(\frac{1}{x}=a,\frac{1}{y}=b,\frac{1}{z}=c\)\(\Rightarrow ab+bc+ca=1\)
Ta có:\(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^2}}\)\(=\sqrt{\frac{1}{1+x^2}}+\sqrt{\frac{1}{1+y^2}}+\sqrt{\frac{1}{1+z^2}}\)
\(=\sqrt{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}+x}}+\sqrt{\frac{\frac{1}{y}}{\frac{1}{y}+y}}+\sqrt{\frac{\frac{1}{z}}{\frac{1}{z}+z}}\)\(=\sqrt{\frac{a}{a+\frac{1}{a}}}+\sqrt{\frac{b}{b+\frac{1}{b}}}+\sqrt{\frac{c}{c+\frac{1}{c}}}\)
\(=\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+1}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+1}}\)
Đến đây:\(\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}=\frac{a}{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}=\frac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)
\(=\sqrt{\frac{a}{a+b}.\frac{a}{a+c}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}\right)\)
Tương tự:\(\frac{b}{\sqrt{b^2+1}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{b}{b+a}+\frac{b}{b+c}\right);\frac{c}{\sqrt{c^2+1}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{c}{c+a}+\frac{c}{c+b}\right)\)
Cộng 3 bất đẳng thức lại ta có điều phải chứng minh :))