Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(H=\sum\frac{y}{x^2+1+2y+2}\le\sum\frac{y}{2x+2y+2}=\frac{1}{2}\sum\frac{y}{x+y+1}\)
Ta sẽ chứng minh \(H\le\frac{1}{2}\) hay \(\frac{y}{x+y+1}+\frac{z}{y+z+1}+\frac{x}{z+x+1}\le1\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+1}{x+y+1}+\frac{y+1}{y+z+1}+\frac{z+1}{z+x+1}\ge2\)
Thật vậy, ta có:
\(VT=\frac{\left(x+1\right)^2}{\left(x+1\right)\left(x+y+1\right)}+\frac{\left(y+1\right)^2}{\left(y+1\right)\left(y+z+1\right)}+\frac{\left(z+1\right)^2}{\left(z+1\right)\left(z+x+1\right)}\)
\(VT\ge\frac{\left(x+y+z+3\right)^2}{\left(x+1\right)\left(x+y+1\right)+\left(y+1\right)\left(y+z+1\right)+\left(z+1\right)\left(z+x+1\right)}\)
\(VT\ge\frac{\left(x+y+z+3\right)^2}{x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx+3x+3y+3z+3}=\frac{\left(x+y+z+3\right)^2}{\frac{1}{2}\left(x^2+y^2+z^2\right)+xy+yz+zx+3x+3y+3z+3+\frac{1}{2}\left(x^2+y^2+z^2\right)}\)
\(VT\ge\frac{\left(x+y+z+3\right)^2}{\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)^2+3\left(x+y+z\right)+3+\frac{3}{2}}=\frac{\left(x+y+z+3\right)^2}{\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)^2+3\left(x+y+z\right)+\frac{9}{2}}\)
\(VT\ge\frac{\left(x+y+z+3\right)^2}{\frac{1}{2}\left(x+y+z+3\right)^2}=2\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
1. Theo BĐT AM - GM, ta có:
\(\Sigma\dfrac{1}{\left(2x+y+z\right)^2}=\Sigma\dfrac{1}{\left\{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)\right\}^2}\le\Sigma\dfrac{1}{4\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\)
Do đó BĐT ban đầu sẽ đúng nếu ta C/m được
\(\Sigma\dfrac{1}{4\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\le\dfrac{3}{16}\Leftrightarrow\dfrac{8}{3}\left(x+y+z\right)\le\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{8}{3}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\le\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\left(xy+yz+zx\right)\)
Nhưng điều này đúng vì \(xy+yz+zx\ge\sqrt[3]{x^2y^2z^2}=3\) và theo bổ đề bên trên. Từ đó ta có điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
( Còn bài 2 để suy nghĩ rồi tối đăng cho nha )
Ta có: \(\dfrac{x^3}{y+2z}+\dfrac{y^3}{z+2x}+\dfrac{z^3}{x+2y}=\dfrac{x^4}{xy+2zx}+\dfrac{y^4}{yz+2xy}+\dfrac{z^4}{zx+2yz}\)
\(\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{xy+2zx+yz+2xy+zx+2yz}=\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3\left(xy+yz+zx\right)}\)
Mà ta lại có: \(xy+yz+zx\le x^2+y^2+z^2\)
\(\Rightarrow\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\dfrac{1^2}{3.1}=\dfrac{1}{3}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
Ta có \(\left(\frac{x^3}{y^2+z}+\frac{y^3}{z^2+x}+\frac{z^3}{x^2+y}\right)\left[x\left(y^2+x\right)+y\left(z^2+x\right)+z\left(x^2+y\right)\right]\ge\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\left(1\right)\)
Ta chứng minh \(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\ge\frac{4}{5}\left[x\left(y^2+z\right)+y\left(z^2+x\right)+z\left(x^2+y\right)\right]\)
\(\Leftrightarrow5\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\ge4\left[x\left(y^2+z\right)+y\left(z^2+x\right)+z\left(x^2+y\right)\right]\left(2\right)\)
Thật vậy \(\hept{\begin{matrix}3\left(\Sigma x^2\right)^2\ge\left(\Sigma x^2\right)\cdot\Sigma x^2=4\Sigma zx\left(3\right)\\2\left(\Sigma x^2\right)^2\ge4\Sigma xy^2\left(4\right)\end{matrix}\Leftrightarrow2\left(\Sigma x^2\right)^2\ge\Sigma xy^2\left(x+y+z\right)}\)(*)
Từ các Bất Đẳng Thức \(\hept{\begin{cases}\frac{x^4-2x^3z+z^2x^2}{2}\ge0\\\frac{x^4+y^4+2x^4}{4}\ge xyz^2\end{cases}}\)=> (*) đúng
Như vậy (3),(4) đúng => (2) đúng
Từ đó suy ra \(T\ge\frac{4}{5}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{2}{3}\)