Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
2 ) Ta có : \(\frac{1}{3}\left(a^3+b^3+a+b\right)+ab\le a^2+b^2+1\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{3}\left(a+b\right)\left(a^2+b^2+1-ab\right)+ab\le a^2+b^2+1\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+1\right)\left(\frac{a+b}{3}-1\right)-ab\left(\frac{a+b}{3}-1\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+1-ab\right)\left(\frac{a+b}{3}-1\right)\le0\)
Do a ; b dương \(\Rightarrow a^2+b^2+1-ab>0\Rightarrow\frac{a+b}{3}-1\le0\)
\(\Leftrightarrow a+b\le3\)
\(M=\frac{a^2+8}{a}+\frac{b^2+2}{b}=a+\frac{8}{a}+b+\frac{2}{b}=2a+\frac{8}{a}+\frac{2}{b}+2b-\left(a+b\right)\ge8+4-3=9\)
( áp dụng BĐT Cauchy cho a ; b dương )
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=2;b=1\)
Tìm min cho K, tìm max có lẽ Bunhia là ra thôi:
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{3a+1}=x\\\sqrt{3b+1}=y\\\sqrt{3x+1}=z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow1\le x;y;z\le\sqrt{10}\)
\(x^2+y^2+z^2=3\left(a+b+c\right)+3=12\)
Bài toán trở thành cho \(x^2+y^2+z^2=12\), tìm min \(P=x+y+z\)
Ta có: \(\left(x-1\right)\left(x-\sqrt{10}\right)\le0\Rightarrow x^2-\left(\sqrt{10}+1\right)x+\sqrt{10}\le0\)
\(\left(y-1\right)\left(y-\sqrt{10}\right)=y^2-\left(\sqrt{10}+1\right)y+\sqrt{10}\le0\)
\(\left(z-1\right)\left(z-\sqrt{10}\right)=z^2-\left(\sqrt{10}+1\right)z+\sqrt{10}\le0\)
Cộng vế với vế:
\(x^2+y^2+z^2-\left(\sqrt{10}+1\right)\left(x+y+z\right)+3\sqrt{10}\le0\)
\(\Rightarrow x+y+z\ge\frac{x^2+y^2+z^2+3\sqrt{10}}{\sqrt{10}+1}=\frac{12+3\sqrt{10}}{\sqrt{10}+1}=2+\sqrt{10}\)
\(\Rightarrow P_{min}=2+\sqrt{10}\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(1;1;\sqrt{10}\right)\) và các hoán vị hay \(\left(a;b;c\right)=\left(3;0;0\right)\) và các hoán vị
1. Ta thấy:
\(\frac{(a-b)^3}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^3}-b\sqrt{b}+2a\sqrt{a}=\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^3(\sqrt{a}+\sqrt{b})^3}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^3}-b\sqrt{b}+2a\sqrt{a}\)
\(=(\sqrt{a}+\sqrt{b})^3-b\sqrt{b}+2a\sqrt{a}=a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+3\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})-b\sqrt{b}+2a\sqrt{a}\)
\(=3a\sqrt{a}+3\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})=3\sqrt{a}(a+\sqrt{ab}+b)\)
$a\sqrt{a}-b\sqrt{b}=(\sqrt{a}-\sqrt{b})(a+\sqrt{ab}+b)$
\(\frac{\frac{(a-b)^3}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^3}-b\sqrt{b}+2a\sqrt{a}}{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}=\frac{3\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}(1)\)
\(\frac{3a+3\sqrt{ab}}{b-a}=\frac{3\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(\sqrt{b}-\sqrt{a})(\sqrt{b}+\sqrt{a})}=\frac{-3\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}(2)\)
Từ $(1);(2)$ ta có đpcm.
Câu 2:
Điều kiện đã cho tương đương với:
$\frac{a-b}{a(a+b)}+\frac{a+b}{a(a-b)}=\frac{3a-b}{(a-b)(a+b)}$
$\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2}{a(a+b)(a-b)}+\frac{(a+b)^2}{a(a-b)(a+b)}=\frac{a(3a-b)}{a(a-b)(a+b)}$
$\Leftrightarrow (a-b)^2+(a+b)^2=a(3a-b)$
$\Leftrightarrow 2a^2+2b^2=3a^2-ab$
$\Leftrightarrow a^2-ab-2b^2=0$
$\Leftrightarrow (a+b)(a-2b)=0$
$\Leftrightarrow a=-b$ hoặc $a=2b$
Nếu $a=-b$ thì $|a|=|b|$ (trái giả thiết). Do đó $a=2b$
Khi đó:
$P=\frac{(2b)^3+2(2b)^2.b+3b^3}{2(2b)^3+2b.b^2+b^3}=\frac{19b^3}{19b^3}=1$
để biểu thức cho đơn giản , ta đặt x=a+1,y=b+1,z=c+1(x,y,z>0)
thì giả thiết thành \(\frac{1}{x+1}+\frac{3}{y+3}\le\frac{z}{z+2}\) .Tìm min xyz
Áp dụng bất đẳng thức cauchy:\(\frac{z}{z+2}\ge\frac{1}{x+1}+\frac{3}{y+3}\ge2\sqrt{\frac{3}{\left(x+1\right)\left(y+3\right)}}\)(1)
từ giả thiết :\(\frac{1}{x+1}\le\frac{z}{z+2}-\frac{3}{y+3}\Leftrightarrow1-\frac{1}{x+1}\ge1-\frac{z}{z+2}+\frac{3}{y+3}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{x+1}\ge\frac{2}{z+2}+\frac{3}{y+3}\)
Áp dụng bất đẳng thức cauchy 1 lần nữa: \(\frac{x}{x+1}\ge\frac{2}{z+2}+\frac{3}{y+3}\ge2\sqrt{\frac{6}{\left(z+2\right)\left(y+3\right)}}\)(2)
tương tự ta cũng có: \(\frac{y}{y+3}\ge2\sqrt{\frac{2}{\left(z+2\right)\left(x+1\right)}}\)(3),
cả 2 vế các bất đẳng thức (1),(2)và (3) đều dương, nhân vế với vế:
\(\frac{xyz}{\left(x+1\right)\left(y+3\right)\left(z+2\right)}\ge\frac{8.6}{\left(x+1\right)\left(z+2\right)\left(y+3\right)}\)
\(\Leftrightarrow xyz\ge48\)
Dấu = xảy ra khi x=2,y=6,z=4 hay a=1,b=5,z=3
\(a^2b^2c^2+\left(a+1\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\ge a+b+c+ab+bc+ca+3\)
\(\Leftrightarrow\left(abc\right)^2+abc-2\ge0\Leftrightarrow\left(abc+2\right)\left(abc-1\right)\ge0\Leftrightarrow abc\ge1\)
Áp dụng BĐT Cosi ta có:
\(\frac{a^3}{\left(b+2c\right)\left(2c+3a\right)}+\frac{b+2c}{45}+\frac{2c+3a}{75}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3}{\left(b+2c\right)\left(2c+3b\right)}\cdot\frac{b+2c}{45}\cdot\frac{2c+3a}{75}}=\frac{a}{5}\left(1\right)\)
Tương tự ta có: \(\hept{\begin{cases}\frac{b^3}{\left(c+2a\right)\left(2a+3b\right)}+\frac{c+2a}{45}+\frac{2a+3b}{75}\ge\frac{b}{5}\left(2\right)\\\frac{c^3}{\left(a+2b\right)\left(2b+3c\right)}+\frac{a+2b}{45}+\frac{2b+3c}{75}\ge\frac{c}{5}\left(3\right)\end{cases}}\)
Từ (1)(2)(3) ta có:
\(P+\frac{2\left(a+b+c\right)}{15}\ge\frac{a+b+c}{5}\Leftrightarrow P\ge\frac{1}{15}\left(a+b+c\right)\)
Mà \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow S\ge\frac{1}{5}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1
Bài 1:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(9=x+y+xy+1=(x+1)(y+1)\leq \left(\frac{x+y+2}{2}\right)^2\)
\(\Rightarrow 4\leq x+y\)
Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM:
\(x^3+4x\geq 4x^2; y^3+4y\geq 4y^2\)
\(\frac{x}{4}+\frac{1}{x}\geq 1; \frac{y}{4}+\frac{1}{y}\geq 1\)
\(\Rightarrow x^3+y^3+x^2+y^2+5(x+y)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq 5(x^2+y^2)+\frac{3}{4}(x+y)+2\)
Mà:
\(5(x^2+y^2)\geq 5.\frac{(x+y)^2}{2}\geq 5.\frac{4^2}{2}=40\)
\(\frac{3}{4}(x+y)\geq \frac{3}{4}.4=3\)
\(\Rightarrow A= x^3+y^3+x^2+y^2+5(x+y)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq 40+3+2=45\)
Vậy \(A_{\min}=45\Leftrightarrow x=y=2\)
Bài 2:
\(B=\frac{a^2}{a-1}+\frac{2b^2}{b-1}+\frac{3c^2}{c-1}\)
\(B-24=\frac{a^2}{a-1}-4+\frac{2b^2}{b-1}-8+\frac{3c^2}{c-1}-12\)
\(=\frac{a^2-4a+4}{a-1}+\frac{2(b^2-4b+4)}{b-1}+\frac{3(c^2-4c+4)}{c-1}\)
\(=\frac{(a-2)^2}{a-1}+\frac{2(b-2)^2}{b-1}+\frac{3(c-2)^2}{c-1}\geq 0, \forall a,b,c>1\)
\(\Rightarrow B\geq 24\)
Vậy \(B_{\min}=24\Leftrightarrow a=b=c=2\)
\(P=\left(1+\frac{a}{3b}\right)\left(1+\frac{c}{3a}+\frac{b}{3c}+\frac{b}{9a}\right)\)
\(P=1+\frac{1}{3}\left(\frac{c}{a}+\frac{b}{c}+\frac{a}{b}\right)+\frac{1}{9}\left(\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}\right)+\frac{1}{27}\)
\(P\ge1+\frac{1}{27}+\frac{1}{3}.3\sqrt[3]{\frac{abc}{abc}}+\frac{1}{9}.3\sqrt[3]{\frac{abc}{abc}}=\frac{64}{27}\)
\(\Rightarrow P_{min}=\frac{64}{27}\) khi \(a=b=c\)
Áp dụng BĐT AM - GM:
\(\frac{3}{2}\ge a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\) \(\Rightarrow abc\le\frac{1}{8}\)
\(1+1+1+\frac{1}{2a}+\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2b}\ge7\sqrt[7]{\frac{1}{16a^2b^2}}\)
\(\Leftrightarrow3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge7\sqrt[7]{\frac{1}{16a^2b^2}}\)
Tương tự ta CM được:
\(3+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge7\sqrt[7]{\frac{1}{16b^2c^2}}\)
\(3+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\ge\ge7\sqrt[7]{\frac{1}{16c^2a^2}}\)
Nhân vế theo vế 3 bất đẳng thức trên:
\(S\ge343\sqrt[7]{\frac{1}{4096a^4b^4c^4}}\ge343\sqrt[7]{\frac{1}{4096.\frac{1}{8^4}}}=343\)
\(\Rightarrow Min_S=343\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}\)
Ta có \(2a^4+\left(a^4+1\right)\ge2a^4+2a^2\ge4a^3\)
\(\Rightarrow3a^4+1\ge4a^3\)
\(\Rightarrow M\ge\frac{4\left(a^3+b^3\right)+c^3}{\left(a+b+c\right)^3}\ge\frac{\left(a+b\right)^3+c^3}{\left(a+b+c\right)^3}\)\(=\left(1-\frac{c}{a+b+c}\right)^3+\frac{c^3}{\left(a+b+c\right)^3}\)
Đặt \(\frac{c}{a+b+c}=t\) (đề nhầm không ?)
\(\Rightarrow M\ge\left(1-t\right)^3+t^3\)
Bạn xem lại đề. Với từng này điều kiện thì không tìm được $M_{\min}$