Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có \(\frac{x+2xy+1}{x+xy+xz+1}=\frac{x+2xy+xyz}{x+xy+xz+xyz}=\frac{1+2y+yz}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\)
Tương tự => \(M=\frac{1+2y+yz}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}+\frac{1+2z+zx}{\left(1+x\right)\left(z+1\right)}+\frac{1+2x+xy}{\left(1+x\right)\left(y+1\right)}\)
=> \(M=\frac{\left(1+2y+yz\right)\left(1+x\right)+\left(1+2z+zx\right)\left(1+y\right)+\left(1+2x+xy\right)\left(1+z\right)}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}\)
=>\(M=\frac{6+3\left(x+y+z\right)+3\left(xy+yz+xz\right)}{2+\left(x+y+z\right)+\left(xy+yz+xz\right)}=3\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\Leftrightarrow xy+yz+xz=0\)
\(A=\frac{yz}{x^2+yz+-xy-xz}+\frac{xz}{y^2+zx-xy-yz}+\frac{xy}{z^2+xy-xz-yz}\)
\(A=\frac{yz}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}+\frac{xz}{\left(y-z\right)\left(y-x\right)}+\frac{xy}{\left(z-x\right)\left(z-y\right)}\)
\(A=\frac{yz\left(y-z\right)-xz\left(x-z\right)+xy\left(x-y\right)}{\left(x-z\right)\left(x-y\right)\left(y-z\right)}\)
\(A=\frac{\left(z-x\right)\left(y-z\right)\left(y-x\right)}{\left(x-z\right)\left(x-y\right)\left(y-z\right)}=1\)
\(B=\dfrac{x+2xy+1}{x+xy+xz+1}+\dfrac{y+2yz+1}{y+yz+ỹ+1}+\dfrac{z+2zx+1}{z+zx+zy+1}\)
\(B=\dfrac{yz\left(x+2xy+1\right)}{yz\left(x+xy+xz+1\right)}+\dfrac{xz\left(y+2yz+1\right)}{xz\left(y+yz+ỹ+1\right)}+\dfrac{xy\left(z+2zx+1\right)}{xy\left(z+zx+zy+1\right)}\)
\(B=\dfrac{\left(1+y\right)+y\left(1+z\right)}{\left(1+y\right)\left(1+z\right)}+\dfrac{\left(1+z\right)+z\left(1+x\right)}{\left(1+z\right)\left(1+x\right)}+\dfrac{\left(1+x\right)+x\left(1+y\right)}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)}\)
\(B=\dfrac{y}{1+y}+\dfrac{1}{1+z}+\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{z}{1+z}+\dfrac{1}{1+y}+\dfrac{x}{1+x}\)
\(B=\left(\dfrac{y}{1+y}+\dfrac{1}{1+y}\right)+\left(\dfrac{1}{1+z}+\dfrac{z}{1+z}\right)+\left(\dfrac{x}{1+x}+\dfrac{1}{1+x}\right)\)
\(B=1+1+1\)
\(B=3\)
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0\Leftrightarrow\dfrac{xy+yz+xz}{xyz}=0\Leftrightarrow xy+yz+xz=0\Leftrightarrow yz=-xy-xz\)
Ta có \(x^2+2yz=x^2+yz-xy-xz=\left(x-y\right)\left(x-z\right)\)
Tương tự \(y^2+2xz=\left(y-x\right)\left(y-z\right);z^2-2xy=\left(z-x\right)\left(z-y\right)\)
\(A=\dfrac{yz}{x^2+2yz}+\dfrac{xz}{y^2+2xz}+\dfrac{xy}{z^2+2xy}=\dfrac{yz}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}+\dfrac{xz}{\left(y-z\right)\left(y-x\right)}+\dfrac{xy}{\left(z-x\right)\left(z-y\right)}\\ A=\dfrac{-yz\left(y-z\right)-xz\left(z-x\right)-xy\left(x-z\right)}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}\\ A=\dfrac{-yz\left(y-z\right)+xz\left(y-z\right)+xz\left(x-y\right)-xy\left(x-y\right)}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}\\ A=\dfrac{\left(y-z\right)\left(xz-yz\right)+\left(x-y\right)\left(xz-xy\right)}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}\\ A=\dfrac{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}=1\)
Lời giải:
Ta xét hiệu sau:
\(x^3+y^3-xy(x+y)=x^3-x^2y-(xy^2-y^3)\)
\(=x^2(x-y)-y^2(x-y)=(x^2-y^2)(x-y)=(x-y)^2(x+y)\geq 0, \forall x,y>0\)
\(\Rightarrow x^3+y^3\geq xy(x+y)(*)\)
\(\Rightarrow x^3+y^3+xy\geq xy(x+y+1)\)
\(\Rightarrow \frac{xy}{x^3+y^3+xy}\leq \frac{xy}{xy(x+y+1)}=\frac{1}{x+y+1}\)
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế, suy ra:
\(\text{VT}\leq \underbrace{\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{x+z+1}}_{M}(1)\)
Vì $xyz=1$ nên tồn tại $a,b,c>0$ sao cho \((x,y,z)=(\frac{a^2}{bc}, \frac{b^2}{ac}, \frac{c^2}{ab})\)
Khi đó:
\(M=\frac{abc}{a^3+b^3+abc}+\frac{abc}{b^3+c^3+abc}+\frac{abc}{c^3+a^3+abc}\)
\(\leq \frac{abc}{ab(a+b)+abc}+\frac{abc}{bc(b+c)+abc}+\frac{abc}{ca(c+a)+abc}\) (áp dụng công thức $(*)$)
hay \(M\leq \frac{c}{a+b+c}+\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow \text{VT}\leq 1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$ hay $x=y=z=1$
Bài của chị Akai đoạn đầu hơi phức tạp(em nghĩ thế).
Ta có:
\(\left(x-y\right)^2\ge0\) với \(\forall x,y\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-xy\ge0\) với \(\forall x,y\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\ge xy\left(x+y\right)\)với\(\forall x,y\)
\(\Rightarrow x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\) với \(\forall x,y\)
Rồi giải tiếp như chị ấy.
2 cái kìa còn lại làm tương tự rồi sau đó cộng lại với nhau sẽ ra 1 số tự nhiên nhé, dễ nên lười đánh nốt lắm :v
cam ơn ah. kết quả bằng 3 ah.