K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NV
0
HP
30 tháng 4 2017
Có a,b,c>0;a+b>c,b+c>a,c+a>b
=>a+b-c>0,b+c-a>0,c+a-b>0
=>c2(a+b-c)>0,a2(b+c-a)>0,b2(c+a-b)>0
=>c2(a+b-c)+a2(b+c-a)+b2(c+a-b)>0
=>(đẳng thức đề bài) > 0
N
0
TT
3 tháng 8 2020
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge12\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có
\(1=a^2+b^2+c^2+2abc\ge4\sqrt[4]{2a^3b^3c^3}\)
\(\Rightarrow abc\le\frac{1}{8};\Rightarrow\text{}\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{a^2b^2c^2}}\ge3\sqrt[3]{64}=12\)
suy ra điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)
D
1
31 tháng 1 2019
\(\frac{3}{a+2b}=\frac{1}{3}.\frac{9}{a+b+b}\le\frac{1}{3}.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\right)\)
Tương tự:\(\frac{3}{b+2c}\le\frac{1}{3}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\frac{3}{c+2a}\le\frac{1}{3}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}\right)\)
Cộng theo vế ta được:
\(\frac{3}{a+2b}+\frac{3}{b+2c}+\frac{3}{c+2a}\le\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}\right)=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
28 tháng 1 2021
444448888855555695+777+6666555888852652522222222222222222256585965
28 tháng 1 2021
Đặt A=2a2b2+2c2a2+2b2c2 - a4 - b4 - c4
A= - ( a4 + b4 + c4 - 2(ab)2 - 2(bc)2-2(ca)2)
A= - (a4 + b4 + c4 - 2(ab)2 - 2(bc)2-2(ca)2 - 4(ca)2)
áp dụng hàng đẳng thức:
(a2-b2+c2)=a4+b4+c4-2(ab)2-2(bc)2+2(ca)2
A= - ( (a2-b2+c2)-4(ca)2)
A= - (a2-b2+c2-2ca) (a2-b2+c2+2ca)
CHÚC BẠN HỌC TỐT##
16 tháng 6 2018
Hình như đề sai, theo mik là nó lớn hơn bằng 3/2 nhé (ko biết đúng ko)
\(\frac{a}{b^2c+1}+\frac{b}{c^2a+1}+\frac{c}{a^2b+1}=\frac{a^2}{ab^2c+a}+\frac{b^2}{bc^2a+b}+\frac{c^2}{ca^2b+c}\)
Do a,b,c là 3 số thực dương nên áp dụng BĐT Cauchy Schwarz cho 3 phân số:
\(\frac{a^2}{ab^2c+a}+\frac{b^2}{bc^2a+b}+\frac{c^2}{ca^2b+c}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab^2c+bc^2a+ca^2b+a+b+c}\)
\(=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{abc\left(a+b+c\right)+\left(a+b+c\right)}=\frac{9}{3abc+3}\)(Thay a+b+c=3)
Lại có: \(abc\le\frac{\left(a+b+c\right)^3}{27}=\frac{3^3}{27}=1\)(BĐT Cauchy cho 3 số)
\(\Rightarrow\frac{9}{3abc+3}\ge\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\Rightarrow\frac{a^2}{ab^2c+a}+\frac{b^2}{bc^2a+b}+\frac{c^2}{ca^2b+c}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b^2c+1}+\frac{b}{c^2a+1}+\frac{c}{a^2b+1}\ge\frac{3}{2}.\)
\(\left(a+a+b\right)\left(b+b+c\right)\left(c+c+a\right)\ge3\sqrt[3]{a^2b}.3\sqrt[3]{b^2c}.3\sqrt[3]{c^2a}=27abc\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)