PM
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NK
1
NK
2
10 tháng 12 2015
Số chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1.
Số chính phương chia 4 dư 0 hoặc 1.
Đặt A = ﴾a ‐ b﴿﴾b ‐ c﴿﴾c ‐ a﴿
+Vì 1 số chính phương chia 3, chia 4 đều dư 0 hoặc 1 ‐ Vì a, b, c chia 3 dư 0 hoặc 1
=> Có ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho 3
=> Hiệu của chúng chia hết cho 3
=> a ‐ b hoặc b ‐ c hoặc c ‐ a chia hết cho 3
=> A chia hết cho 3 ﴾1﴿ ‐ Vì a, b, c chia 4 dư 0 hoặc 1
=> Có ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho 4
=> Hiệu của chúng chia hết cho 4
=> a ‐ b hoặc b ‐ c hoặc c ‐ a chia hết cho 4
=> A chia hết cho 4 ﴾2﴿
Tư ﴾1﴿ và ﴾2﴿ kết hợp với ƯCLN ﴾3,4﴿ = 1
=> A chia hết cho 3 x 4
=> A chia hết cho 12
Vậy ...
CM
0
DN
0
NT
0
PT
1
6 tháng 6 2016
a;b;c là các số chính phương nên viết được dưới dạng: \(a=x^2;b=y^2;c=z^2\mid x;y;z\in Z\)
Do đó, \(M=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)=\left(x-y\right)\left(x+y\right)\left(y-z\right)\left(y+z\right)\left(z-x\right)\left(z+x\right)\)
- Trong 3 số x;y;z có ít nhất 2 số có cùng tính chẵn hoặc lẻ. Suy ra Tổng và Hiệu 2 số có cùng tính chẵn (hoặc lẻ) đó là số chẵn. => \(M\vdots4\)(1)
- Trong 3 số x;y;z nếu có 2 số nào có cùng số dư khi chia cho 3 thì hiệu của chúng sẽ chia hết cho 3 => \(M\vdots3\)(a)
- Trong 3 số x;y;z nếu không có bất kỳ 2 số nào có cùng số dư khi chia cho 3 thì các số dư đó khác nhau và lần lượt là: 0;1;2. Khi đó tổng 2 số có số dư =1 và số có số dư bằng 2 sẽ chia hết cho 3 =>\(M\vdots3\)(b)
- Từ (a) và (b) => \(M\vdots3\forall x;y;z\)(2)
- Từ (1) và (2) =>\(M\vdots12\forall a;b;c\)(ĐPCM)
DN
2
21 tháng 12 2015
\(a=x^2;b=y^2;c=z^2\)
\(P=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)=\left(x^2-y^2\right)\left(y^2-z^2\right)\left(z^2-x^2\right)\)
\(=\left(x-y\right)\left(x+y\right)\left(y-z\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)\left(z+x\right)\)
..............................
16 tháng 10 2016
a=x2;b=y2;c=z2 P=(a−b)(b−c)(c−a)=(x2−y2)(y2−z2)(z2−x2) =(x−y)(x+y)(y−z)(y−z)(z−x)(z+x)
WH
15 tháng 5 2018
Trả lời
Số chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1
Số chính phương chia 4 dư 0 hoặc 1
Đặt A=(a-b)(b-c)(c-a)
Vì 1 số chính phuong chia 4 và 3 dư 0 hoặc 1
*)Vì a;b;c chia 3 dư 0 hoặc 1
=> Có ít nhất 2 số cg số dư khi chia 3
=> Hiệu của chúg chia hết cho 3
=> a-b; b-c hoặc c-a chia hết cho 3
=> A chia hết cho 3 (1)
*) Vì a;b;c chia 4 dư 0 hoặc 1
=> Có ít nhất 2 số cg số dư khi chia cho 4
=> Hiệu của chúg chia hết cho 4
=> a-b; b-a; c-a chia hết cho 4
=> A chia hết cho 4 (2)
Từ (1)(2)=> A chia hết chi 12 vì (3;4)=1
Vậy a;b;c là 3 số chính phương thì (a-b)(b-c)(c-a) chia hết cho 3 (đpcm)
JN
15 tháng 5 2018
Ta có : C > A > B
*Cm ( A - B ) ( B- C ) ( C - A ) chia hết cho 3
Vì một số chính phương chia cho 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1 mà có ba số chính phương nên sẽ có 2 số cùng dư khi chia cho 3 (*).
Tích ( A - B ) ( B- C ) ( C - A ) mỗi hiệu trên là thương của hai số mỗi số trừ cho nhau một lần nên theo ( *) thì có một hiệu chia hết cho 3 \(\Rightarrow\) ( A - B ) ( B- C ) ( C - A ) \(⋮3\left(1\right)\)
*Cm ( A - B ) ( B- C ) ( C - A ) chia hết cho 4
Vì một số chính phương chia cho 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1 mà có ba số chính phương nên sẽ có 2 số cùng dư khi chia cho 4(2).
Tích ( A - B ) ( B- C ) ( C - A ) mỗi hiệu trên là thương của hai số mỗi số trừ cho nhau một lần nên theo ( 2) thì có một hiệu chia hết cho 4 \(\Rightarrow\) ( A - B ) ( B- C ) ( C - A ) \(⋮4\left(3\right)\)
Từ (1) và (3) suy ra : Tích ( A - B ) ( B- C ) ( C - A ) chia hết cho 4 và 3 mà (4;3) =1 => ( A - B ) ( B- C ) ( C - A ) chia hết cho 3.4 <=> ( A - B ) ( B- C ) ( C - A ) chia hết cho 12 .
Vậy bài toán được chứng tỏ
Lời giải:
Một số chính phương khi chia cho 3 có dư 0 hoặc 1 (2 loại số dư). Mà có 3 số $A,B,C$ nên theo nguyên lý Đi-rích-lê thì tồn tại $[\frac{3}{2}]+1=2$ số có cùng số dư khi chia cho 3.
Giả sử đó là hai số $A,B$. Khi đó: $A-B\vdots 3\Rightarrow (A-B)(B-C)(C-A)\vdots 3(*)$
Lại có:
Nếu trong 3 số $A,B,C$ có ít nhất 2 số chẵn. Không mất tổng quát gọi 2 số đó là A và B.
Vì $A,B$ là số chính phương chẵn nên $A\vdots 4; B\vdots 4$
$\Rightarrow A-B\vdots 4\Rightarrow (A-B)(B-C)(C-A)\vdots 4$
Nếu $A,B,C$ có 1 số chẵn 2 số lẻ. Giả sử 2 số lẻ là $A,B$. Vì $A,B$ là scp lẻ nên $A,B$ chia 8 cùng dư 1.
$\Rightarrow A-B\vdots 8\Rightarrow (A-B)(B-C)(C-A)\vdots 8\vdots 4$
Nếu $A,B,C$ là 3 số lẻ. Khi đó $A-B\vdots 2; B-C\vdots 2; C-A\vdots 2$
$\Rightarrow (A-B)(B-C)(C-A)\vdots 8\vdots 4$
Vậy $(A-B)(B-C)(C-A)\vdots 4(**)$
Từ $(*); (**)\Rightarrow (A-B)(B-C)(C-A)\vdots (3.4=12)$