K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

AH
Akai Haruma
Giáo viên
15 tháng 7 2017

Lời giải:

Ta có

\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}=\left ( \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b} \right )(a+b+c)-\frac{a(b+c)}{b+c}-\frac{b(c+a)}{c+a}-\frac{c(a+b)}{a+b}\)

\(=a+b+c-(a+b+c)=0\)

Ta có đpcm

22 tháng 1 2018

Ta có: \(A=a\left(a^2-bc\right)+b\left(b^2-ac\right)+c\left(c^2-ab\right)=0\)

\(\Rightarrow A=a^3+b^3+c^3-3abc=0\) \(\Rightarrow A=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc=0\)

\(\Rightarrow A=\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-c\left(a+b\right)+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)=0\)

\(\Rightarrow A=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)=0\)

Vì \(a+b+c\ne0\Rightarrow a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0\)

Xét \(M=a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0\)

\(\Rightarrow2M=2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc=0\)

\(\Rightarrow2M=\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)

Vì \(\left(a-b\right)^2\ge0;\left(b-c\right)^2\ge0;\left(c-a\right)^2\ge0\forall a,b,c\)

\(\Rightarrow a-b=0;b-c=0;c-a=0\) \(\Rightarrow a=b=c\)

\(\Rightarrow P=\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}=1+1+1=3\) 

7 tháng 5 2017

Ta có: \(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}=1\)

=> \(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}\right)=a+b+c\)

<=> \(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{ab}{b+c}+\dfrac{ac}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{ab}{a+c}+\dfrac{bc}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b}+\dfrac{ac}{a+b}+\dfrac{bc}{a+b}=a+b+c\)

<=> \(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b}+a\left(\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{b+c}\right)+b\left(\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{c}{a+c}\right)+c\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{a+b}\right)=a+b+c\)

<=> \(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b}+a+b+c=a+b+c\)

<=> \(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b}=0\)

Vậy \(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}=1\) thì \(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b}=0\)

7 tháng 5 2017

cảm ơn bn nhiều nha, bn giỏi quá

Y
6 tháng 2 2019

Đặt x = a - b, y = b - c, z = c - a

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=0\\ay+bz+cx=ab-ac+bc-ab+ac-bc=0\end{matrix}\right.\)

+ \(ay+bz+cx=0\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{y}\left(\dfrac{a}{y}+\dfrac{b}{z}+\dfrac{c}{x}\right)=0\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{y^2}+\dfrac{bx}{xyz}+\dfrac{cz}{xyz}=0\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{y^2}=\dfrac{-bx-cz}{xyz}\)

+ Tương tự : \(\dfrac{b}{z^2}=\dfrac{-cy-ax}{xyz}\)

\(\dfrac{c}{x^2}=\dfrac{-az-by}{xyz}\)

Do đó : \(\dfrac{a}{y^2}+\dfrac{b}{z^2}+\dfrac{c}{x^2}=\dfrac{-a\left(x+z\right)-b\left(x+y\right)-c\left(y+z\right)}{xyz}\)

\(=\dfrac{ay+bz+cx}{xyz}\) ( do x + y + z = 0)

\(=0\) ( do ay + bz + cx = 0 )

9 tháng 5 2017

Ùi mình làm theo kiểu khác thử :V, nhưng có hơi hướng giống và bổ sung :D

Câu 2 : a,b,c > 0. CM : \(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge9\)

Giải :

C1 : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng Engel ta có :

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=\dfrac{9}{a+b+c}\left(ĐPCM\right)\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{c}\).

C2 : Đầy đủ hơn với cách giải đúng của bạn Hoàng Thiên Di :

Áp dụng BĐT AM-GM cho 3 số dương (sgk là cosi :v)

\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=1+1+1+\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)+\left(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\right)+\left(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\right)\)

\(\ge3+2+2+2=9\left(ĐPCM\right)\)

Câu 3 : a,b,c > 0. CM : \(\dfrac{a+b}{c}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}\ge6\)

Giải :

\(\dfrac{a+b}{c}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}\ge6\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{b}\ge6\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)+\left(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\right)+\left(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\right)\ge6\)

Theo bất đẳng thức Cosi : \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\ge2\sqrt{\dfrac{xy}{yx}}=2\)

Thay vào các vế được : \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{ab}{ba}}=2\sqrt{1}=2\)

\(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{ac}{ca}}=2\sqrt{1}=2\)

\(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{bc}{cb}}=2\sqrt{1}=2\)

\(\Leftrightarrow2+2+2\ge6\) (đúng)

BĐT được c/m.

9 tháng 5 2017

xem lại đề

a=b=c=1 =>3<=2

8 tháng 9 2017

Ta có: \(\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2\)

\(=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+\dfrac{2}{ab}+\dfrac{2}{bc}+\dfrac{2}{ac}\)

Ta cần chứng minh: \(\dfrac{2}{ab}+\dfrac{2}{bc}+\dfrac{2}{ac}=0\) thật vậy:

\(\dfrac{2}{ab}+\dfrac{2}{bc}+\dfrac{2}{ac}=\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{abc}=\dfrac{2.0}{abc}=0\)Tức là:\(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}=\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2\left(đpcm\right)\)

25 tháng 8 2017

Với mọi a , b , c \(\in\)R ta luôn có :

\(a^2\)+   \(b^2\)+   \(c^2\)> hoặc = \(2bc+2ca-2ab\left(1\right)\)

Ta cần chứng minh ( 1 ) là bất đẳng thức đúng

\(\Leftrightarrow\)\(a^2\)+   \(b^2\)+   \(c^2\)+ 2ab - 2bc - 2ca > hoặc = 0

\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b-c\right)^2\) > hoặc = 0 ( 2 )

Bất đẳng thức ( 2 ) luôn đúng với mọi a ; b ; c mà các phép biến đổi trên tương ứng

Nên bất đẳng thức ( 1 ) được chứng minh

Xảy ra khi và chỉ khi a + b = c

Mà   \(a^2\)+   \(b^2\)+   \(c^2\)=   \(\frac{5}{3}\)( gt )

Mà   \(\frac{5}{3}\)=   \(1\frac{2}{3}\)< 2  ( 3 )

Từ ( 1 ) kết hợp với ( 3 ) ta có thể viết :

2bc + 2ca - 2ab < hoặc =    \(a^2\)+   \(b^2\)+   \(c^2\)< 2

\(\Rightarrow\)2bc + 2ca - 2ab < 2

Vì a ; b ; c > 0 nên chia cả 2 vế của bđt cho 2abc

\(\frac{2bc+2ca-2ab}{2abc}< \frac{2}{2abc}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}< \frac{1}{abc}\)

Vậy với a ; b ; c là các số dương thỏa mãn điều kiện :   \(a^2\)+   \(b^2\)+   \(c^2\)=   \(\frac{5}{3}\)thì ta luôn chứng minh được :

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}< \frac{1}{abc}\)

25 tháng 8 2017

đm làm mỏi tay :v thấy đúng thì ..................
 

9 tháng 1 2019

Từ giả thiết suy ra:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{b-c}=\dfrac{-b}{c-a}+\dfrac{-c}{a-b}=\dfrac{-ab+b^2-c^2+ac}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)}\\\dfrac{b}{c-a}=\dfrac{-c}{a-b}+\dfrac{-a}{b-c}=\dfrac{-bc+c^2-a^2+ab}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}\\\dfrac{c}{a-b}=\dfrac{-a}{b-c}+\dfrac{-b}{c-a}=\dfrac{-ac+a^2-b^2+bc}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{\left(b-c\right)^2}=\dfrac{-ab+b^2-c^2+ac}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\\\dfrac{b}{\left(c-a\right)^2}=\dfrac{-bc+c^2-a^2+ab}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\\\dfrac{c}{\left(a-b\right)^2}=\dfrac{-ac+a^2-b^2+bc}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\end{matrix}\right.\)

Cộng theo vế suy ra đpcm