Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Giả sử n^2+m=a^2
Vì m là ước dương của 2n^2 nên 2n^2=mk ( k∈N )
Suy ra n^2+m=n^2+(2n^2)/k=a^2
⇔n^2.k^2+2n^2.k=a^2.k^2
Suy ra :
k^2+2k=(ak/n)^2à số chính phương.
Suy ra Vô lý vì k^2<k^2+2k<(k+1)^2
^ là mũ;/là phân số; . là nhân
chúc bạn học tốt
Nếu m=n ta có đpcm
Xét m \(\ne\)n ta đặt \(\hept{\begin{cases}m+n=2x\\m-n=2y\end{cases}\left(x;y\inℤ;x>0;y\ne0\right)}\)khi đó ta có: \(\hept{\begin{cases}m=x+y\\n=x-y\end{cases}\left(m,n>0\right)\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y>0\\x-y>0\end{cases}\Rightarrow}x=\left|y\right|}\)
Do đó \(n^2-1⋮\left|m^2-n^2+1\right|\Rightarrow-\left(m^2-n^2-1\right)+m^2⋮\left|m^2-n^2+1\right|\Rightarrow m^2=k\left(m^2-n^2+1\right)\left(1\right)\left(k\inℤ\right)\)
Thay m=x+y; n=x-y ta có: (x+y)2=k(4xy+1)
<=> x2-2(2x-1)xy+y2-k=0 (*)
Phương trình (*) có 1 nghiệm là x thuộc Z nên có 1 nghiệm nữa là x1. Theo hệ thức Vi-et ta có:
\(\hept{\begin{cases}x+x_1=2\left(2k-1\right)\\xx_1=y^2-k\end{cases}\Rightarrow x;x_1\inℤ}\)
Nếu x1>0 => (x;y) là cặp nghiệm thỏa mãn (*)
=> x1>|y| => y2-k=xx1 > |y|2=y2 => k<0 => x1+x2=2(2k-1)<0 (mâu thuẫn)
Nếu x1<0 thì xx1=y2-k<0 => k>y2 => k>0 => 4xy+1>0 => y>0 ta có:
k=x12-2(2k-1)x1y+y2=x12+2(2k-1)|x1|y+y2> 2(2k-1) |x1|y >= 2(2k-1)>k (mâu thuẫn)
vậy x1=0 khi đó k=y2 và \(m^2-n^2+1=\left(\frac{m}{y}\right)^2\)nên |m2-n2+1| là số chính phương
nếu m=n thì ta có đpcm
xét m khác n ta đặt \(\hept{\begin{cases}m+n=2x\\m-n=2y\end{cases}\left(x,y\in Z,x>0;y\ne0\right)}\)khi đó ta có \(\hept{\begin{cases}x+y=m\\x-y=n\end{cases}}\)do đó m,n>0
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y>0\\x-y>0\end{cases}\Rightarrow x>\left|y\right|}\)
do \(n^2-1⋮\left|m^2-n+1\right|\Rightarrow-\left(m^2-n^2-1\right)+m^2⋮\left|m^2-n^2+1\right|\Rightarrow m^2⋮m^2-n^2+1\)
\(\Rightarrow m^2=k\left(m^2-n^2+1\right)\left(1\right)\left(k\inℤ\right)\)
thay m=x+y; n=x-y ta có \(\left(x+y\right)^2=k\left(4xy+1\right)\Leftrightarrow x^2-2\left(2k-1\right)xy+y^2-k=0\)(*)
phương trình (*) có 1 nghiệm của x thuộc Z nên có 1 nghiệm nữa là x1 theo hệ thức Vi-et ta có
\(\hept{\begin{cases}x+x_1=2\left(2k-1\right)\\xx_1=y^2-k\end{cases}}\Rightarrow x_1\inℤ\)
nếu x1>0 thì (x1;y) là một cặp nghiệm thỏa mãn (*)
=> \(x_1>\left|y\right|\Rightarrow y^2-k=xx_1>\left|y\right|^2=y^2\Rightarrow k< 0\Rightarrow x_1+x=2\left(2k-1\right)< 0\)mâu thuẫn
nếu x1<0 thì \(xx_1=y^2-k< 0\Rightarrow k>y^2\Rightarrow k>0\Rightarrow4xy+1>0\Rightarrow y>0\)ta có
\(k=x_1^2-2\left(2k-1\right)x_1y+y^2=x_1^2+2\left(2k-1\right)\left|x_1\right|y\ge2\left(2k-1\right)>k\)mâu thuẫn
vậy x1=0 khi đó k=y2 và \(m^2-n^2+1=\frac{m^2}{k}=\left(\frac{m}{y}\right)^2\)nên m2-n2+1 là số chính phương
B1 a, Có n lẻ nên n = 2k+1(k E N)
Khi đó: n^2 + 7 = (2k+1)^2 +7
= 4k^2 + 4k + 8
= 4k(k+1) +8
Ta thấy k và k+1 là 2 số tự nhiên liên tiếp nên có ít nhất 1 số chia hết cho 2
=> k(k+1) chia hết cho 2 <=> 4k(k+1) chia hết cho 8
Mà 8 chia hết cho 8 <=> n^2 + 7 chia hết cho 8
a=b(mod n) là công thức dùng để chỉ a,b có cùng số dư khi chia cho n, gọi là đồng dư thức
Ta có các tính chất cua đồng dư thức và các tính chất sau:
Cho x là số tự nhiên
Nếu x lẻ thì => x^2 =1 (mod 8)
x^2 =-1(mod 5) hoặc x^2=0(mod 5)
Nếu x chẵn thì x^2=-1(mod 5) hoặc x^2 =1(mod 5) hoặc x^2=0(mod 5)
Vì 2a +1 và 3a+1 là số chính phương nên ta đặt
3a+1=m^2
2a+1 =n^2
=> m^2 -n^2 =a (1)
m^2 + n^2 =5a +2 (2)
3n^2 -2m^2=1(rút a ra từ 2 pt rồi cho = nhau) (3)
Từ (2) ta có (m^2 + n^2 )=2(mod 5)
Kết hợp với tính chất ở trên ta => m^2=1(mod 5); n^2=1(mod 5)
=> m^2-n^2 =0(mod 5) hay a chia hết cho 5
từ pt ban đầu => n lẻ =>n^2=1(mod 8)
=> 3n^2=3(mod 8)
=> 3n^2 -1 = 2(mod 8)
=> (3n^2 -1)/2 =1(mod 8)
Từ (3) => m^2 = (3n^2 -1)/2
do đó m^2 = 1(mod 8)
ma n^2=1(mod 8)
=> m^2 - n^2 =0 (mod 8)
=> a chia hết cho 8
Ta có a chia hết cho 8 và 5 và 5,8 nguyên tố cùng nhau nên a chia hết cho 40.Vậy a là bội của 40
Ta có: \(m^2\equiv0,1,4\)(mod 5)
TH1: \(m^2\equiv1\left(mod.5\right)\)
\(m^2+4\equiv0\left(mod.5\right)\)
-> mà m khác 1 -> ko phải snt
TH2: \(m^2\equiv4\left(mod.5\right)\)
\(m^2+16\equiv0\left(mod.5\right)\)
-> chia hết cho 5-> không phải số nguyên tố
Vậy \(m^2\equiv0\left(mod.5\right)\)-> m chia hết cho 5
Tra loi
Bn len google tra cho nhanh
Mk ns tht day
Hok tot Hien
Ta có 2023m2 + m = 2022n2 + n
<=> n2 = 2023n2 + n - 2023m2 - m
<=> n2 = 2023(n2 - m2) + (n - m)
<=> n2 = (n - m)[2023(n + m) + 1] (*)
Đặt (n - m ; 2023(n + m) + 1) = d (\(d\inℕ^∗\))
=> \(\left\{{}\begin{matrix}n-m⋮d\\2023.\left(n+m\right)+1⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n-m⋮d\\\left(n-m\right).\left[2023.\left(n+m\right)+1\right]⋮d^2\end{matrix}\right.\)
=> \(\left\{{}\begin{matrix}n-m⋮d\\n^2⋮d^2\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n-m⋮d\\n⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n⋮d\\m⋮d\end{matrix}\right.\) (1)
Lại có 2023(n + m) + 1 \(⋮d\) (2)
Từ (1) và (2) => d = 1
=> (n - m ; 2023(n + m) + 1) = 1 (3)
Từ (*) và (3) => 2023(n + m) + 1 là số chính phương