Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài này cũng dễ mà:
Áp dụng BĐT Cô-si, ta có:
\(y+z+1\ge3\sqrt[3]{yz}\)
\(\Rightarrow\)\(\dfrac{y+z+1}{3}\ge\sqrt[3]{yz}\)
\(\Rightarrow\)\(\dfrac{x}{\sqrt[3]{yz}}\ge\dfrac{3x}{y+z+1}\)
\(\Rightarrow\)\(\sum\dfrac{x}{\sqrt[3]{yz}}\ge\sum\dfrac{3x}{y+z+1}\)
Mà \(\sum\dfrac{3x}{y+z+1}=\sum\dfrac{3x^2}{xy+xz+x}\)
Áp dụng BĐT Cauchy -Schwaz:
\(\sum\dfrac{3x^2}{xy+xz+x}\ge\dfrac{3\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)+x+y+z}\)
Mà:
\(xy+yz+xz\le x^2+y^2+z^2\)(BĐT phụ)
\(\Rightarrow\)\(2\left(xy+yz+xz\right)\le2\left(x^2+y^2+z^2\right)=6\)
Áp dụng BĐT Bunhicopski:
\(\left(x+y+z\right)^2\le3\left(x^2+y^2+z^2\right)=9\)
\(\Rightarrow x+y+z\le3\)
\(\Rightarrow2\left(xy+yz+xz\right)+x+y+z\le6+3=9\)
\(\Rightarrow\)\(\dfrac{3\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)+x+y+z}\ge\dfrac{3\left(x+y+z\right)^2}{9}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\ge xy+yz+xz\left(ĐPCM\right)\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)x=y=z=1
Từ giả thiết ta có: \(\left(x+y-z\right)^2=4xy\)
\(\Rightarrow P=x+y+z+\frac{2}{\left(x+y-z\right)^2.z}=x+y+z+\frac{8}{4z\left(x+y-z\right)^2}\)
Am-Gm:\(\left(x+y-z\right)\left(x+y-z\right).4z\le\frac{1}{27}\left(2x+2y+2z\right)^3=\frac{8}{27}\left(x+y+z\right)^3\)
\(\Rightarrow P\ge x+y+z+\frac{27}{\left(x+y+z\right)^3}\)
\(=\frac{x+y+z}{3}+\frac{x+y+z}{3}+\frac{x+y+z}{3}+\frac{27}{\left(x+y+z\right)^3}\ge4\sqrt[4]{\frac{\left(x+y+z\right)^3.27}{27.\left(x+y+z\right)^3}}=4\)
Dấu = xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x+y-z=4z\\x+y+z=3\\\left(x+y-z\right)^2=4xy\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}z=\frac{1}{2}\\x+y=\frac{5}{2}\\xy=1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(x;y;z\right)=\left(\frac{1}{2};2;\frac{1}{2}\right)\) hoặc \(\left(2;\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\). Nhưng vì đề bài cho đối xứng với cả 3 biến nên dấu = xảy ra tại hoán vị của \(\left(2;\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\)
Vậy P min =4
Ngọc HnueThảo PhươngĐỖ CHÍ DŨNGMinh AnBăng Băng 2k6Vũ Minh Tuấn
a) Giá trị của biểu thức A tại x=-1 và y=-1 là:
A=5x3y2=5.(-1)3.(-1)2=5.(-1).1=-5
b) Giá trị của biểu thức B tại x=-3 và y=-1 là:
B=5xy4=5.(-3).(-1)4=-15
c) Giá trị của biểu thức C tại x=5 và y=-2 là:
\(C=\frac{4}{5}xy^3=\frac{4}{5}.5.\left(-2\right)^3=4.\left(-8\right)=-32\)
d) Giá trị của biểu thức D tại x=2 và y=\(\frac{1}{3}\) là:
\(D=\frac{3}{4}x^2y^3=\frac{3}{4}.2^2.\left(\frac{1}{3}\right)^3=3.\frac{1}{27}=\frac{1}{9}\)
e) Giá trị của biểu thức E tại x=\(\frac{1}{2}\) và y=5 là:
\(E=\frac{2}{5}x^2y=\frac{2}{5}.\left(\frac{1}{2}\right)^2.5=2.\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\)