Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Chào bạn, mình từng làm bài này giúp một bạn khác rồi, link đây nhé:
https://hoc24.vn/hoi-dap/question/778686.html
\(Q=\dfrac{2002}{a}+\dfrac{2017}{b}+2996a-5501b=\left(\dfrac{2002}{a}+8008a\right)+\left(\dfrac{2017}{b}+2017b\right)-\left(5012a+7518b\right)\)
\(=\left(\dfrac{2002}{a}+8008a\right)+\left(\dfrac{2017}{b}+2017b\right)-2506\left(2a+3b\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số dương:
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2002}{a}+8008\ge2\sqrt{\dfrac{2002}{a}.8008}=8008\\\dfrac{2017}{b}+2017b\ge2\sqrt{\dfrac{2017}{b}.2017b}=4034\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(2a+3b=4\Rightarrow-\left(2a+3b\right)=-4\Leftrightarrow-2506\left(2a+3b\right)=-10024\)
\(\Rightarrow Q\ge8008+4034-10024=2018\)
\(ĐTXR\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{2}\\b=1\end{matrix}\right.\)
Ta có:
\(Q=\dfrac{2002}{a}+\dfrac{2017}{b}+2996a-5501b\)
\(=\left(\dfrac{2002}{a}+8008a\right)+\left(\dfrac{2017}{b}+2017b\right)-\left(5012a+7518b\right)\)
\(=\left(\dfrac{2002}{a}+8008a\right)+\left(\dfrac{2017}{b}+2017b\right)-2506\left(2a+3b\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số không âm ta có:
\(\dfrac{2002}{a}+8008a\ge2\sqrt{\dfrac{2002}{a}.8008a}=2.4004=8008\) (1)
\(\dfrac{2017}{b}+2017b\ge2\sqrt{\dfrac{2017}{b}.2017b}=2.2017=4034\) (2)
Có \(2a+3b\le4\Rightarrow-\left(2a+3b\right)\ge-4\Rightarrow-2506\left(2a+3b\right)\ge-10024\)(3)
Từ (1), (2) và (3) \(\Rightarrow Q\ge8008+4034-10024=2018\)
Dấu '=' xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2002}{a}=8008a\\\dfrac{2017}{b}=2017b\\2a+3b=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{2}\\b=1\end{matrix}\right.\)
Vậy,...
1) Ta có ĐK: 0 < a,b,c < 1
\(\sqrt{\frac{a}{1-a}}=\frac{a}{\sqrt{a\left(1-a\right)}}\ge2a\) (BĐT AM-GM cho 2 số a và 1-a)
Tương tự, ta có \(\sqrt{\frac{b}{1-b}}=\frac{b}{\sqrt{b\left(1-b\right)}}\ge2b\) và \(\sqrt{\frac{c}{1-c}}=\frac{c}{\sqrt{c\left(1-c\right)}}\ge2c\)
⇒ \(\sqrt{\frac{a}{1-a}}+\sqrt{\frac{b}{1-b}}+\sqrt{\frac{c}{1-c}}\ge2\left(a+b+c\right)=2\)(do a+b+c=1)
Dấu đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) a = b = c = \(\frac{1}{2}\) (không thoả mãn điều kiện a+b+c=1)
Dấu đẳng thức trên không xảy ra được. Vậy ta có bất đẳng thức\(\sqrt{\frac{a}{1-a}}+\sqrt{\frac{b}{1-b}}+\sqrt{\frac{c}{1-c}}>2\)
Ta có
Q = 2002 1 a + 4 a + 2017 1 b + b − 5012 a − 7518 b = 2002 1 a + 4 a + 2017 1 b + b − 2506 2 a + 3 b
+ Vì a, b dương và 2 a + 3 b ≤ 4 ⇒ 0 < 2 a + 3 b ≤ 4 do đó
Q ≥ 2002.2. 1 a .4 a + 2017.2. 1 b . b − 2506.4 = 2018 với mọi a, b>0 và 2 a + 3 b ≤ 4 , dấu bằng xảy ra khi a = 1 2 và b= 1.
+ Vậy giá trị nhỏ nhất của Q bằng 2018 khi a = 1 2 và b= 1..
Ta có: P= \(2a+3b+\dfrac{1}{a}+\dfrac{4}{b}\) = \(\text{}\text{}(\dfrac{1}{a}+a)+\left(\dfrac{4}{b}+b\right)+\left(a+2b\right)\)
Ta thấy: \(\text{}\text{}(\dfrac{1}{a}+a)\ge2\sqrt{\dfrac{1}{a}\cdot a}=2\)
\(\text{}\text{}\left(\dfrac{4}{b}+b\right)\ge2\sqrt{\dfrac{4}{b}\cdot b}=4\)
Do đó: P \(\ge2+4+8=14\)
Vậy: P(min)=14 khi: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{a}=a\\\dfrac{4}{b}=b\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=2\end{matrix}\right..\)
\(Q=\frac{2002}{a}+8008a+\frac{2017}{b}+2017b-2506\left(2a+3b\right)\)
\(Q\ge2\sqrt{\frac{2002}{a}.8008a}+2\sqrt{\frac{2017}{b}.2017b}-2506.4\)
\(Q\ge2018\)
\(\Rightarrow Q_{min}=2018\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{1}{2}\\b=1\end{matrix}\right.\)