Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(x^6-1=\left(x^3-1\right)\left(x^3+1\right)=\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)\\ \RightarrowĐPCM\)
\(2005^3+125=\left(2005+5\right)\left(2005^2+2005\cdot5+5^2\right)=2010\left(2005^2+2005\cdot5+5^2\right)⋮2010\)\(x^2+y^2+z^2+3=2\left(x+y+z\right)\\ \Leftrightarrow x^2+y^2+x^2+3=2x+2y+2z\\ \Leftrightarrow x^2-2x+1+y^2-2y+1+z^2-2z+1=0\\ \Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2=0\\ \left(x-1\right)^2\ge0;\left(y-1\right)^2\ge0;\left(z-1\right)^2\ge0\\ \Rightarrow\left(x-1\right)^2=\left(y-1\right)^2=\left(z-1\right)^2=0\\ \Rightarrow x-1=y-1=z-1=0\\ \Leftrightarrow x=y=z=1\)
b) \(2005^3+125\)
\(=2005^3+5^3\)
\(=\left(2005+5\right)\left(2005^2-2005.5+5^2\right)\)
\(=2010\left(2005^2-2005.5+5^2\right)\)\(⋮\) 2010
Vậy \(2005^3+125\) chia hết cho 2010
Lời giải:
$x^3+y^3+z^3=(x+y+z)^3-3(x+y)(y+z)(x+z)$
Vì $x+y+z\vdots 6\vdots 2$ nên trong 3 số $x,y,z$ có thể có: 2 số
lẻ 1 số chẵn, 3 số chẵn
Nếu $x,y,z$ là 3 số chẵn thì hiển nhiên $(x+y)(y+z)(x+z)\vdots 2$
Nếu $x,y,z$ có 2 số lẻ, 1 số chẵn thì tổng 2 số lẻ đó là 1 số chẵn
$\Rightarrow$ trong 3 số $x+y,y+z,x+z$ sẽ có 1 số chẵn.
$\Rightarrow (x+y)(y+z)(x+z)\vdots 2$
Vậy $(x+y)(y+z)(x+z)\vdots 2$
$\Rightarrow 3(x+y)(y+z)(x+z)\vdots 6$
Mà $x+y+z\vdots 6$
$\Rightarrow x^3+y^3+z^3=(x+y+z)^3-3(x+y)(y+z)(x+z)\vdots 6$
P = ...
\(\Leftrightarrow P=x^3z-x^3y^2+y^3x-y^3z^2+z^3y-z^3x^2+x^2y^2z^2-xyz\)\(\Leftrightarrow P=\left(x^3z-x^2z^3\right)-\left(x^3y^2-x^2y^2z^2\right)+\left(xy^3-y^3z\right)+\left(yz^3-xyz\right)\)\(\Leftrightarrow P=x^2z\left(x-z^2\right)-x^2y^2\left(x-z^2\right)+y^3\left(x-z^2\right)-yz\left(x-z^2\right)\)\(\Leftrightarrow P=\left(x-z^2\right)\left(x^2z-x^2y^2+y^3-yz\right)\)
\(\Leftrightarrow P=\left(x-z^2\right)\left[\left(x^2z-x^2y^2\right)+\left(y^3-yz\right)\right]\)
\(\Leftrightarrow P=\left(x-z^2\right)\left[-x^2\left(y^2-z\right)+y\left(y^2-z\right)\right]\)
\(\Leftrightarrow P=\left(x-z\right)^2\left(y^2-z\right)\left(y-x^2\right)\)
\(\Leftrightarrow P=abc\left(đpcm\right)\)
Sửa lại
P = ...
\(\Leftrightarrow P=...\)
\(\Leftrightarrow P=...-...+\left(xy^3-y^3z^2\right)+...\)
Gọi Ư CLN của tử và mẫu là d => 3n+1 chia hết cho d, 5n+2 chia hết cho d . Sau đó nhân 3n+1 với 5 và 5n+2 với 3, rồi lấy mẫu trừ tử
=> 15n+6-(15n+5) chia hết cho d => 1 chia hết cho d => d=1=> (3n+1;5n+2)=1(ĐFCM)
Bài 2:
x=y+1 =>x-y=1
Ta có :
(x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4)= (x2-y2)(x2+y2)(x4+y4)
=(x4-y4)(x4+y4)=x8-y8 (ĐFCM)
Tương tự: Câu hỏi của Nguyễn Thị Kim Anh - Toán lớp 8 | Học trực tuyến