Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1:
Đặt \(\left(\frac{x}{y}; \frac{y}{z}; \frac{z}{x}\right)=(a,b,c)\Rightarrow abc=1\)
Khi đó:
\(A^2+B^2+C^2-ABC=(b+\frac{1}{b})^2+(c+\frac{1}{c})^2+(a+\frac{1}{a})^2-(a+\frac{1}{a})(b+\frac{1}{b})(c+\frac{1}{c})\)
\(=b^2+\frac{1}{b^2}+2+c^2+\frac{1}{c^2}+2+a^2+\frac{1}{a^2}+2-(ab+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{1}{ab})(c+\frac{1}{c})\)
\(a^2+b^2+c^2+(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})+6-[abc+\left(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\right)+\left(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\right)+\frac{1}{abc}]\)
\(=a^2+b^2+c^2+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+6-[1+\left(\frac{abc}{c^2}+\frac{abc}{a^2}+\frac{abc}{b^2}\right)+\left(\frac{a^2}{abc}+\frac{b^2}{abc}+\frac{c^2}{abc}\right)+1]\)
\(=a^2+b^2+c^2+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+6-[1+(\frac{1}{c^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{a^2})+(a^2+b^2+c^2)+1]\)
\(=4\)
Câu 2:
Ta có:
\(xy+yz+xz+2xyz=\frac{ab}{(b+c)(c+a)}+\frac{bc}{(c+a)(a+b)}+\frac{ac}{(b+c)(a+b)}+\frac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\)
\(=\frac{ab(a+b)}{(a+b)(b+c)(c+a)}+\frac{bc(b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}+\frac{ac(a+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}+\frac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\)
\(=\frac{ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\)
\(=\frac{ab(a+b+c)+bc(b+c+a)+ca(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\)
\(=\frac{(a+b+c)(ab+bc)+ac(a+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{(c+a)b(a+b+c)+ac(a+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\)
\(=\frac{(a+c)[b(a+b+c)+ac]}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{(a+c)[b(a+b)+c(a+b)]}{(a+b)(b+c)(c+a)}\)
\(=\frac{(a+c)(b+c)(a+b)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=1\)
Bài 3:
a) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{xy}+\frac{2}{x^2+y^2}=2\left(\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\right)\) \(\geq 2.\frac{(1+1)^2}{2xy+x^2+y^2}=\frac{8}{(x+y)^2}=8\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
b) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{x^2+y^2}=\frac{1}{2xy}+\left (\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\right)\geq \frac{1}{2xy}+\frac{(1+1)^2}{2xy+x^2+y^2}\)
\(=\frac{1}{2xy}+\frac{4}{(x+y)^2}\)
Theo BĐT AM-GM:
\(xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{1}{4}\Rightarrow \frac{1}{2xy}\geq 2\)
Do đó \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\geq 2+4=6\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
Bài 1: Thiếu đề.
Bài 2: Sai đề, thử với \(x=\frac{1}{6}\)
Bài 4 a) Sai đề với \(x<0\)
b) Áp dụng BĐT AM-GM:
\(x^4-x+\frac{1}{2}=\left (x^4+\frac{1}{4}\right)-x+\frac{1}{4}\geq x^2-x+\frac{1}{4}=(x-\frac{1}{2})^2\geq 0\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} x^4=\frac{1}{4}\\ x=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\) (vô lý)
Do đó dấu bằng không xảy ra , nên \(x^4-x+\frac{1}{2}>0\)
Bài 6: Áp dụng BĐT AM-GM cho $6$ số:
\(a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd\geq 6\sqrt[6]{a^3b^3c^3d^3}=6\)
Do đó ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=d=1\)
5) a) Đặt b+c-a=x;a+c-b=y;a+b-c=z thì 2a=y+z;2b=x+z;2c=x+y
Ta có:
\(\dfrac{2a}{b+c-a}+\dfrac{2b}{a+c-b}+\dfrac{2c}{a+b-c}=\dfrac{y+z}{x}+\dfrac{x+z}{y}+\dfrac{x+y}{z}=\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)+\left(\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z}\right)+\left(\dfrac{z}{y}+\dfrac{y}{z}\right)\ge6\)
Vậy ta suy ra đpcm
b) Ta có: a+b>c;b+c>a;a+c>b
Xét: \(\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{b+c}>\dfrac{1}{a+b+c}+\dfrac{1}{b+c+a}=\dfrac{2}{a+b+c}>\dfrac{2}{a+b+a+b}=\dfrac{1}{a+b}\)
.Tương tự:
\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}>\dfrac{1}{b+c};\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}>\dfrac{1}{a+c}\)
Vậy ta có đpcm
6) Ta có:
\(a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd\ge2ab+2cd+ab+cd=3\left(ab+cd\right)\)
\(ab+cd=ab+\dfrac{1}{ab}\ge2\)
Suy ra đpcm
2) ta có: \(VT=\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\) và \(VP=\left(ax+by\right)^2\)
tính hiệu của cả VT và VP
suy ra: \(\left(ay+bx\right)^2=0\Rightarrow ay=bx\)
vì \(x,y\ne0\Rightarrow\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}\left(đpcm\right)\)
3)(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)=(ax+by+cz)2 (1)
biến đổi đẳng thức (1) thành (ay+bx)2 + (bz-cy)2 +(az-cx)2 =0
\(\Rightarrow\) Đpcm
\(1.\) Giả sử : \(a\ge b\ge c\Rightarrow a+b\ge a+c\ge b+c\)
Ta có : \(\dfrac{c}{a+b}\le\dfrac{c}{b+c};\dfrac{b}{a+c}\le\dfrac{b}{b+c};\dfrac{a}{b+c}=\dfrac{a}{b+c}\)
\(\Rightarrow\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{a}{b+c}\le\dfrac{b+c}{b+c}+\dfrac{a}{b+c}=1+\dfrac{a}{b+c}< 1+1=2\left(đpcm\right)\)
\(2.\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{x+y+z}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{yz+xz+xy}{xyz}=\dfrac{1}{x+y+z}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)=xyz\)
\(\Leftrightarrow x^2y+x^2z+xy^2+y^2z+xyz+xyz+yz^2+xz^2=0\)
\(\Leftrightarrow xy\left(x+y+z\right)+yz\left(x+y+z\right)+xz\left(x+z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)y\left(x+z\right)+xz\left(x+z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+z\right)\left(xy+y^2+yz+xz\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-y\\y=-z\\x=-z\end{matrix}\right.\)
+) Với : \(x=-y\) , ta có :
Đpcm \(\Leftrightarrow-\dfrac{1}{y^{2011}}+\dfrac{1}{y^{2011}}+\dfrac{1}{z^{2011}}=\dfrac{1}{-y^{2011}+y^{2011}+z^{2011}}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{z^{2011}}=\dfrac{1}{z^{2011}}\left(luôn-đúng\right)\)
Tương tự với 2 TH còn lại .
\(\RightarrowĐCPM\)
Bài 1:
Áp dụng BĐt cauchy dạng phân thức:
\(\dfrac{1}{2x+y}+\dfrac{1}{x+2y}\ge\dfrac{4}{3\left(x+y\right)}\)
\(\Rightarrow\left(3x+3y\right)\left(\dfrac{1}{2x+y}+\dfrac{1}{x+2y}\right)\ge\left(3x+3y\right).\dfrac{4}{3x+3y}=4\)
dấu = xảy ra khi 2x+y=x+2y <=> x=y
Bài 2:
ta có: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}\ge\dfrac{4^2}{a+b+c+d}=\dfrac{16}{a+b+c+d}\)(theo BĐt cauchy-schwarz)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a+b+c+d}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}\right)\)
Áp dụng BĐT trên vào bài toán ta có:
\(A=\dfrac{1}{2a+b+c}+\dfrac{1}{a+2b+c}+\dfrac{1}{a+b+2c}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{c}\right)\)\(A\le\dfrac{1}{16}.4\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
......
dấu = xảy ra khi a=b=c
Bài 2:
Áp dụng BĐT cauchy cho 2 số dương:
\(a^2+1\ge2a\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{a^2+1}\le\dfrac{a}{2a}=\dfrac{1}{2}\)
thiết lập tương tự:\(\dfrac{b}{b^2+1}\le\dfrac{1}{2};\dfrac{c}{c^2+1}\le\dfrac{1}{2}\)
cả 2 vế các BĐT đều dương ,cộng vế với vế,ta có dpcm
dấu = xảy ra khi a=b=c=1
5. phân tích ra : \(1+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+1\)
áp dụng bđ cosy
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}=2\)
=> đpcm
6. \(x^2-x+1=x^2-2.\dfrac{1}{2}.x+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\)
hay với mọi x thuộc R đều là nghiệm của bpt
7.áp dụng bđt cosy
\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge2\sqrt{a^2.b^2.c^2.d^2}=4abcd\left(đpcm\right)\)
Câu hỏi của Hien Pham - Toán lớp 8 | Học trực tuyến
sai rồi