Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a, Ta có : BĐT \(a^2+b^2\ge2ab\) = BĐT cauchuy .
-> Áp dụng BĐT cauchuy ta được :
\(\left\{{}\begin{matrix}a^4+b^4\ge2\sqrt{a^4b^4}=2a^2b^2\\c^4+d^4\ge2\sqrt{c^4d^4}=2c^2d^2\end{matrix}\right.\)
- Cộng 2 bpt lại ta được :
\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge2a^2b^2+2c^2d^2=2\left(\left(ab\right)^2+\left(cd\right)^2\right)\)
- Mà \(\left(ab\right)^2+\left(cd\right)^2\ge2abcd\)
=> \(a^4+b^4+c^4+d^4\ge2.2abcd=4abcd\)
b, CMTT câu 1 .
- Áp dụng BĐT cauchuy ta được :
\(\left\{{}\begin{matrix}a^2+1\ge2a\\b^2+1\ge2b\\c^2+1\ge2c\end{matrix}\right.\)
- Nhân 3 bpt trên lại ta được :
\(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge2.2.2abc=8abc\)
Ta có:
\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2+2bc+c^2+2ca=a^2+b^2+c^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=a^2+b^2+c^2\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca=0\)
*\(a^2+2bc=a^2+bc-ca-ab=\left(a-c\right)\left(a-b\right)\)
Tương tự cho 2 cái còn lại.
Ta có:
\(C=\dfrac{a^2}{a^2+bc-ab-ca}+\dfrac{b^2}{b^2+ac-ab-bc}+\dfrac{c^2}{c^2+ab-bc-ca}\)
\(C=\dfrac{a^2}{\left(a-c\right)\left(a-b\right)}+\dfrac{b^2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}+\dfrac{c^2}{\left(b-c\right)\left(a-c\right)}\)
Tới đây cứ việc quy đồng mẫu là được.
Bài làm:
Ta có: \(\left(a-b-c\right)^2\)
\(=\left[a-\left(b+c\right)\right]^2\)
\(=a^2-2a\left(b+c\right)+\left(b+c\right)^2\)
\(=a^2-2ab-2ac+b^2+2bc+c^2\)
\(=a^2+b^2+c^2-2ab+2bc-2ac\)
( a - b - c )2
= [ ( a - b ) - c ]2
= ( a - b )2 - 2( a - b )c + c2
= a2 - 2ab + b2 - 2ac + 2bc + c2
= a2 + b2 + c2 - 2ab + 2bc - 2ac ( đpcm )
\(\left(a+b+c\right)^2=a\left(a+b+c\right)+b\left(a+b+c\right)+c\left(a+b+c\right)\)
\(=a^2+ab+ac+ab+b^2+bc+ac+bc+c^2\)
\(=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\)
Đặt A = a + b
Biến đổi vế trái ta có
:\(\left(A+c\right)^2=A^2+2Ac+c^2\)=\(\left(a+b\right)^2+2\left(a+b\right)c+c^2=a^2+b^2+2ab+2ac+2bc+c^2\)
Vậy vế trái bằng vế phải đẳng thức được chứng minh
\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2\Leftrightarrow ab+bc+ca=0\)
\(\Leftrightarrow bc=-ac-ca\Leftrightarrow a^2+2bc=a^2+bc-ca-ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2bc=\left(a-c\right)\left(a-b\right)\)
Tương tự với 2 phân số còn lại rồi quy đồng
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2
<=>a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=a^2+b^2+c^2
<=.2ab+2ac+2bc=0
<=>ab+ac+bc=0
<=>bc=-ab-ac
Ta có : a^2/(a^2+2bc)=a^2/(a^2+bc+bc)=a^2/(a^2+bc-ab-ac)=a^2/[a(a-b)-c(a-b)]=a^2/(a-b)(a-c) (1)
chứng minh tương tự ta được: b^2/(b^2+2ac)=b^2/(b-a)(b-c) (2)
c^2/(c^2+2ab)=c^2/(c-a)(c-b) (3)
Cộng vế với vế của (1)(2)(3) ta được :
a^2/(a^2+2bc)+b^2/(b^2+2ac)+c^2/(c^2+2ab)=a^2/(a-b)(a-c)+b^2/(b-a)(b-c)+c^2/(c-a)(c-b)
hay P=a^2/(a-b)(a-c)-b^2(b-c)(a-b)+c^2/(a-c)(a-b)
=a^2(b-c)/(a-b)(a-c)(b-c)-b^2(a-c)/(a-b)(a-c)(b-c)+c^2(a-b)/(a-b)(a-c)(b-c)
=(a^2b-a^2c-b^2a+b^2c+c^2a-c^2b)/(a-b)(a-c)(b-c)
=(a^2b+b^2c-a^2c-c^2b-b^2a+c^2a)/(a-b)(a-c)(b-c)
=[b(a^2+bc)-c(a^2+bc)-a(b^2-c^2)]/(a-b)(a-c)(b-c)
=[(b-c)(a^2+bc)-a(b-c)(b+c)]/(a-b)(a-c)(b-c)
=[(b-c)(a^2+bc-ab-ac)]/(a-b)(a-c)(b-c)
={(b-c)[a(a-b)-c(a-b)]}/(a-b)(a-c)(b-c)
=(b-c)(a-c)(a-b)/(a-b)(a-c)(b-c)
=1
Vậy P=1
hằng đẳng thức thứ nhất sai rồi bạn , phải là
\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\)
có