Câu hỏi của Đặng Anh Tuấn

Question

Biết rằng đa thức P(x)=x³+3x²-1 có 3 nghiệm phân biệt. Chứng minh rằng trong 3 nghiệm đó tồn tại hai nghiệm a,b mà ab+a+1=0.

Trần Tuấn Hoàng · Accepted Answer

- Dễ dàng nhận thấy $x=-1$ không phải là 1 nghiệm của đa thức P(x).

- Gọi b là 1 nghiệm của đa thức $P\left(x\right)=x^3+3x^2-1$

Do đó: $b^3+3b^2-1=0$

$\Rightarrow\left(b^3+3b^2+3b+1\right)-3\left(b+1\right)+1=0$

$\Rightarrow\left(b+1\right)^3-3\left(b+1\right)+1=0$

$\Rightarrow\dfrac{\left(b+1\right)^3-3\left(b+1\right)+1}{\left(b+1\right)^3}=0$

$\Rightarrow\left(\dfrac{1}{b+1}\right)^3-3.\left(\dfrac{1}{b+1}\right)^2+1=0$

$\Rightarrow\left(-\dfrac{1}{b+1}\right)^3+3.\left(-\dfrac{1}{b+1}\right)^2-1=0$

Thay $x=-\dfrac{1}{b+1}$ vào $P\left(x\right)=x^3+3x^2-1$ ta được:

$P\left(-\dfrac{1}{b+1}\right)=\left(-\dfrac{1}{b+1}\right)^3+3.\left(-\dfrac{1}{b+1}\right)^2-1=0$

$\Rightarrow-\dfrac{1}{b+1}$ là một nghiệm của đa thức P(x).

Đặt $a=-\dfrac{1}{b+1}\Rightarrow ab+a+1=0$ $\Rightarrowđpcm$

Câu trả lời: