HN
3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
LT
3
11 tháng 8 2016
\(A=x^4+y^4+z^4\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3}\ge\frac{\left(xy+yz+zx\right)^2}{3}=\frac{1}{3}..\)
min A = 1/3 . khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}.\)
2 tháng 6 2019
Áp dụng BĐT Bunhiacopski,ta có:
\(\left(xy+yz+zx\right)^2\le\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(\Rightarrow1\le\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopski một lần nữa,ta có:
\(\left(x^4+y^4+z^4\right)\left(1^2+1^2+1^2\right)\ge\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\le3\left(x^4+y^4+z^4\right)\left(2\right)\)
Từ (1);(2) \(\Rightarrow A\ge\frac{1}{3}\) dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Vậy......
TN
28 tháng 11 2016
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{x^4}{y+3z}+\frac{y+3z}{16}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\ge4\sqrt[4]{\frac{x^4}{y+3z}\cdot\frac{y+3z}{16}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}}=x\)
\(\Rightarrow\frac{x^4}{y+3z}\ge x-\frac{y+3z}{16}-\frac{1}{2}\).Tương tự ta có:
\(\frac{y^4}{z+3x}\ge y-\frac{z+3x}{16}-\frac{1}{2};\frac{z^4}{x+3y}\ge z-\frac{x+3y}{16}-\frac{1}{2}\)
Cộng theo vế ta có:
\(P\ge\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)-\frac{3}{2}\ge\frac{3}{4}\cdot3-\frac{3}{2}=\frac{3}{4}\)
Dấu "=" khi x=y=z=1
BD
1
25 tháng 12 2015
Ta cm được: \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
\(A=x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge\frac{\left(xy+yz+zx\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\)
Min A = 1/3 khi và chỉ khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
HK
4
10 tháng 9 2018
Ta có: \(P=x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge\frac{\left(xy+yz+zx\right)^2}{3}=\frac{2006^2}{3}\)
30 tháng 6 2020
Ta có: \(xy+yz+zx=xyz\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)
Đặt \(a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}\)ta có: \(a,b,c>0;a+b+c=1\)do đó 0<a,b,c<1
\(P=\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}+\frac{a^2}{c}+6\left(ab+bc+ca\right)\)
\(=\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}+\frac{a^2}{c}+2\left(a+b+c\right)^2-\left(a-b\right)^2-\left(b-c\right)^2-\left(c-a\right)^2+3\)
\(=\left(\frac{b^2}{a}-2b+a\right)+\left(\frac{c^2}{b}-2c+b\right)+\left(\frac{a^2}{c}-2a+c\right)-\left(a-b\right)^2-\left(b-c\right)^2-\left(c-a\right)^2+3\)
\(=\frac{\left(a-b\right)^2}{a}+\frac{\left(b-c\right)^2}{b}+\frac{\left(c-a\right)^2}{c}-\left(a-b\right)^2-\left(b-c\right)^2-\left(c-a\right)^2+3\)
\(=\frac{\left(1-a\right)\left(a-b\right)^2}{a}+\frac{\left(1-b\right)\left(b-c\right)^2}{b}+\frac{\left(1-c\right)\left(c-a\right)^2}{c}+3\ge3\)
Vậy GTNN của P=3
Áp dụng BĐT Bu-nhi-a, ta có
\(x^4+y^4+z^4\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3}\)
Mà \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx=1\Rightarrow x^4+y^4+z^4\ge\dfrac{1}{3}\)
dấu = xảy ra <=> \(x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
^.^
cách khác nè, mình k cố ý tranh giành câu trả lời vs nhau đâu
\(x^4+y^4\ge2x^2y^2\) tương tự vs cái còn lại
\(\sum x^4\ge\sum x^2y^2\)
\(x^2y^2+\dfrac{1}{9}\ge\dfrac{2}{3}xy\) =>\(\sum x^2y^2\ge\dfrac{1}{3}\)
=>\(\sum x^4\ge\dfrac{1}{3}\)