Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Gọi a(x) b(x) lần lượt là các thương của f(x) cho x-1 và x+2
f(x)=(x-1)a(x) + 4
f(1)=4
f(x)=(x+2)b(x) + 1
f(-2)=1
(x-1)(x+2) có bậc là 2=) đa thức dư có dạng cx+d
f(1)=(1-1)(1+2).5x2 +cx+d
=c+d=4
f(-2)=(-2-1)(-2+2).5x2 +c.(-2)+d
=d-2c=1
=)c+d-(d-2c)=c+d-d+2c=3c=3
=)c=1
=)d=3
Vậy đa thức dư của f(x) chia cho(x-1)(x+2) có dạng 1x+3 hay x+3
Áp dụng định lý Bezout ta có:
\(f\left(x\right)\)chia hết cho \(2x-1\Rightarrow f\left(x\right)=\left(2x-1\right)q\left(x\right)\)
\(\Rightarrow f\left(\frac{1}{2}\right)=0\left(1\right)\)
\(f\left(x\right)\)chia cho \(x-2\)dư 6\(\Rightarrow f\left(x\right)=\left(x-2\right)q\left(x\right)+6\)
\(\Rightarrow f\left(2\right)=6\left(2\right)\)
Vì \(f\left(x\right)\)chia cho \(2x^2-5x+2\)được thương là \(x+2\)và còn dư nên
\(f\left(x\right)=\left(2x^2-5x+2\right)\left(x+2\right)+ax+b\)
\(=\left(2x^2-4x-x+2\right)\left(x+2\right)+ax+b\)
\(=\left[2x\left(x-2\right)-\left(x-2\right)\right]\left(x+2\right)+ax+b\)
\(=\left(x-2\right)\left(2x-1\right)\left(x+2\right)+ax+b\)Kết hợp với (1) và (2) ta được:
\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{2}a+b=0\\2a+b=6\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=4\\b=-2\end{cases}}\)
Vạy \(f\left(x\right)=\left(2x^2-5x+2\right)\left(x+2\right)+4x-2\)
Ta có \(x^4+x^2+1=\left(x^2+1\right)^2-x^2=\left(x^2+x+1\right)\left(x^2-x+1\right)\)
Số dư của phép chia đa thức f(x) cho x4 + x2 + 1 là đa thức có bậc thấp hơn, tức là \(ax^3+bx^2+cx+d\)
Ta có \(f\left(x\right)=\left(x^4+x^2+1\right)g\left(x\right)+ax^3+bx^2+cx+d\)
\(=\left(x^2+x+1\right)\left(x^2-x+1\right)g\left(x\right)+\left(x^2+x+1\right)\left(ax+b-a\right)+\left(c-b\right)x+d+a-b\)
\(=\left(x^2+x+1\right)\left[\left(x^2-x+1\right)g\left(x\right)+ax+b-a\right]+\left(c-b\right)x+d+a-b\)
Vậy nên \(\hept{\begin{cases}c-b=-1\\d+a-b=1\end{cases}}\)
Ta cũng có:
\(f\left(x\right)=\left(x^4+x^2+1\right)g\left(x\right)+ax^3+bx^2+cx+d\)
\(=\left(x^2-x+1\right)\left(x^2+x+1\right)g\left(x\right)+\left(x^2-x+1\right)\left(ax+b+a\right)+\left(c+b\right)x+d-a-b\)
Vậy nên \(\hept{\begin{cases}c+b=3\\d-a-b=5\end{cases}}\)
Từ (1) và (2) ta có: \(\hept{\begin{cases}c-b=-1\\c+b=3\end{cases}}\) và \(\hept{\begin{cases}d-b+a=1\\d-b-a=5\end{cases}}\)
Vậy nên \(\hept{\begin{cases}c=1\\b=2\end{cases}}\) và \(\hept{\begin{cases}d-b=3\\a=-2\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}d=5\\a=-2\end{cases}}}\)
Vậy thì đa thức dư cần tìm là -2x3 + 2x2 + x + 5
Áp dụng định lý Bezout ta có:
\(P\left(x\right)\)chia cho x-2 dư 1 \(\Rightarrow P\left(2\right)=1\left(1\right)\)
\(P\left(x\right)\)chia cho x+1 dư 2 \(\Rightarrow P\left(-1\right)=2\left(2\right)\)
Vì \(P\left(x\right)\)chia cho \(x^2-x-2\)thì được thương 2x-1 và còn dư
\(\Rightarrow P\left(x\right)=\left(x^2-x-2\right)\left(2x-1\right)+ax+b\)
\(=\left(x^2+x-2x-2\right)\left(2x-1\right)+ax+b\)
\(=\left[x\left(x+1\right)-2\left(x+1\right)\right]\left(2x-1\right)+ax+b\)
\(=\left(x+1\right)\left(x-2\right)\left(2x-1\right)+ax+b\left(3\right)\)
Từ \(\left(1\right),\left(2\right)\)và \(\left(3\right)\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}-a+b=2\\2a+b=1\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{-1}{3}\\b=\frac{5}{3}\end{cases}\left(4\right)}\)
Thay (4) vào (3) ta được:
\(P\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(x-2\right)\left(2x-1\right)-\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}\)
Ta có : \(x^4+x^2+1=(x^2+1)^2-x^2=(x^2+x+1)(x^2-x+1)\)
Số dư của phép chia đa thức \(f(x)\)cho x4 + x2 + 1 là đa thức có bậc thấp hơn , tức là \(ax^3+bx^2+cx+d\)
Ta có : \(f(x)=(x^4+x^2+1)g(x)+ax^3+bx^2+cx+d\)
\(=(x^2+x+1)(x^2-x+1)g(x)+(x^2+x+1)(ax+b-a)+(c-d)x+d+a-b\)
\(=(x^2+x+1)[(x^2-x+1)g(x)+ax+b-a]+(c-b)x+d+a-b\)
Vậy nên : \(\hept{\begin{cases}c-d=-1\\d+a-b=1\end{cases}}\)
Ta cũng có :
\(f(x)=(x^4+x^2+1)g(x)+ax^3+bx^2+cx+d\)
\(=(x^2-x+1)(x^2+x+1)g(x)+(x^2-x+1)(ax+b+a)+(c+b)x+d-a-b\)
Vậy nên : \(\hept{\begin{cases}c+d=3\\d-a-b=5\end{cases}}\)
Từ 1 và 2 , ta có : \(\hept{\begin{cases}c-d=-1\\c+d=3\end{cases}}\)và \(\hept{\begin{cases}d-b+a=1\\d-b-a=5\end{cases}}\)
Vậy nên : \(\hept{\begin{cases}c=1\\b=2\end{cases}}\)và \(\hept{\begin{cases}d-b=3\\a=-2\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}d=5\\a=-2\end{cases}}\)
Vậy thì đa thức dư cần tìm là : -2x3 + 2x2 + x + 5
\(f\left(x\right)\) chia \(x+1\) dư 4 \(\Rightarrow f\left(x\right)=\left(x+1\right).P\left(x\right)+4\)
\(f\left(-1\right)=\left(-1+1\right)P\left(x\right)+4=4\)
Do \(\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)\) là đa thức bậc 3 \(\Rightarrow\) phần dư của phép chia \(f\left(x\right)\) cho \(\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)\) là bậc 2 có dạng \(ax^2+bx+c\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(x^2+1\right).Q\left(x\right)+ax^2+bx+c\)(1)
\(f\left(-1\right)=a-b+c=4\) (2)
Biến đổi biểu thức (1):
\(f\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(x^2+1\right).Q\left(x\right)+a\left(x^2+1\right)+bx+c-a\)
\(f\left(x\right)=\left(x^2+1\right)\left[\left(x+1\right).Q\left(x\right)+a\right]+bx+c-a\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)\) chia \(x^2+1\) dư \(bx+c-a\)
\(\Rightarrow bx+c-a=2x+3\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=2\\c-a=3\end{matrix}\right.\)
Kết hợp (2) ta được: \(\left\{{}\begin{matrix}b=2\\c-a=3\\a-b+c=4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{3}{2}\\b=2\\c=\dfrac{9}{2}\end{matrix}\right.\)
Vậy phần dư cần tìm là \(\dfrac{3}{2}x^2+2x+\dfrac{9}{2}\)
Theo Bơdu, ta có:
\(f\left(x\right):\left(x+1\right)\) dư 4
\(\Rightarrow f\left(-1\right)=4\)
Vì đa thức chia \(\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)\) có bậc 3 nên đa thức dư có bậc \(\le2\). Đặt đa thức dư có dạng \(ax^2+bx+c\)
Gọi \(P\left(x\right)\) là đa thức thương. Ta có:
\(f\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)P\left(x\right)+ax^2+bx+c\)
\(=\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)P\left(x\right)+ax^2+a-a+bx+c\)
\(=\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)P\left(x\right)+a\left(x^2+1\right)+bx+c-a\)
\(=\left(x^2+1\right)\left[P\left(x\right).\left(x+1\right)+a\right]+bx-a+c\)
Vì \(f\left(x\right):\left(x^2+1\right)\)dư \(2x+3\)
\(\Rightarrow bx+c-a=2x+3\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=2\\c-a=3\end{matrix}\right.\)
Lại có: \(f\left(-1\right)=ax^2+bx+c=4\)
\(\Leftrightarrow a-b+c=4\Leftrightarrow a+c-2=4\)
\(\Leftrightarrow a+c=6\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{3}{2}\\b=\dfrac{9}{2}\end{matrix}\right.\)
Vậy đa thức dư là \(\dfrac{3}{2}x^2+2x+\dfrac{9}{2}\)
Ta có \(F\left(x\right)=g\left(x\right).\left(x+1\right)+4\)
Giả sử \(g\left(x\right)=r\left(x\right).\left(x^2+1\right)+ax+b\)
Suy ra \(F\left(x\right)=r\left(x\right).\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)+\left(ax+b\right)\left(x+1\right)+4\)
Đa thức dư là \(h\left(x\right)=\left(ax+b\right)\left(x+1\right)+4\) ta có \(h\left(x\right)=ax^2+\left(a+b\right)x+\left(b+4\right)\)
Theo giả thiết \(h\left(x\right)\) chia \(\left(x^2+1\right)\) dư \(2x+3\)
\(h\left(x\right)=a\left(x^2+1\right)+\left(a+b\right)x+\left(b-a+4\right)\)
\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a+b=2\\b-a+4=3\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a=\frac{3}{2}\\b=\frac{1}{2}\end{cases}}\)
Vậy đa thức dư là \(h\left(x\right)=\left(\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}\right)\left(x+1\right)+4\)
Ta có f(x) chia cho x + 1 dư 4 nên theo bê-du ta có: f(-1) = 4 (1)
Khi chi f(x) cho (x + 1)(x2 + 1) thì phần dư phải là đa thức bậc 2 hay
f(x) = (x + 1)(x2 + 1)Q(x) + ax2 + bx + c
= (x + 1)(x2 + 1)Q(x) + a(x2 + 1)+ bx + c - a
= (x2 + 1)[(x + 1)Q(x) + a] + bx + c - a (2)
Mà f(x) chia cho x2 + 1 dư 2x + 3 (3)
Từ (1), (2), (3) ta suy ra hệ
\(\hept{\begin{cases}b=2\\c-a=3\\a-b+c=4\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b=2\\a=\frac{3}{2}\\c=\frac{9}{2}\end{cases}}\)
Vậy đa thức dư cần tìm là: \(\frac{3}{2}x^2+2x+\frac{9}{2}\)
Làm lại từ đầu.
Áp dụng định lý Bêdu có \(f\left(2\right)=2,25;f\left(3\right)=1,67\)
Đặt \(f\left(x\right)=\left(x^2-5x+6\right)\left(1-x^2\right)+Q\left(x\right)\)
Vì \(1-x^2\)có bậc không quá 2 nên đặt \(Q\left(x\right)=a.x+b\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=-x^4+5x^3-5x^2-5x+a.x+b+6\)
Có :
\(f\left(2\right)=0+2a+b=2a+b=2,25\)
\(f\left(3\right)=0+3a+b=3a+b=1,67\)
\(\Rightarrow\left(3a+b\right)-\left(2a+b\right)=a=-0,58\)
\(b=3,41\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=-x^4+5x^3-5x^2-5,58.x+9,41\)
Áp dụng định lý Bêdu có \(f\left(2\right)=2,25\)
\(f\left(3\right)=1,67\)
Đặt \(f\left(x\right)=\left(x^2-5x+6\right)\left(1-x^2\right)+Q\left(x\right)\)
Vì \(1-x^2\)có bậc không quá 2 nên \(Q\left(x\right)\)có bậc không quá 1, tức ta đặt \(Q\left(x\right)=ax+b\)
\(f\left(x\right)\Rightarrow=x^2-x^4-5x+5x^3+6-x^2+a.x+b\)
\(=-x^4+5x^3-5x+a.x+b+6\)
Có:
\(f\left(2\right)=2,25\)
\(\Rightarrow-2^4+5.2^3-5.2+a.2+b+6=2,25\)
\(20+2a+b=2,25\)
\(f\left(3\right)=1,67\)
\(\Rightarrow-3^4+5.3^3-5.3+a.3+b+6=1,67\)
\(45+3a+b=1,67\)
\(\Rightarrow\left(45+3a+b\right)-\left(30+2a+b\right)=1,67-2,25\)
\(15+a=-0,58\)
\(a=-15,58\)
\(20+2a+b=20+2.\left(-15,58\right)+b=2,25\)
\(\Rightarrow b=13,41\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)==-x^4+5x^3-10,58x+19,41\)
Vậy...
Gọi đa thức thương là \(q\left(x\right)\), đa thức dư là \(ax+b\)
Vì \(f\left(x\right):\left(x-1\right)\)dư 4 \(\Rightarrow f\left(x\right)=\left(x-1\right).q\left(x\right)+4\) (1)
\(f\left(x\right):\left(x+2\right)\)dư 1 \(\Rightarrow f\left(x\right)=\left(x+2\right).q\left(x\right)+1\) (2)
\(f\left(x\right):\left(x-1\right)\left(x+2\right)\) được thương là \(5x^2\) và còn dư
\(\Rightarrow f\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right).5x^2+ax+b\) (3)
+)Xét (1) và (2), ta có:
Xét giá trị riêng: \(x-1=0\Rightarrow x=1\)
Theo định lí Bơ-zu, ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}f\left(1\right)=4\\f\left(1\right)=a+b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a+b=4\) (*)
+) Xét (2) và (3), ta có :
Xét giá trị riêng \(x+2=0\Rightarrow x=-2\)
Theo định lí Bơ-zu, ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}f\left(-2\right)=1\\f\left(-2\right)=-2a+b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow-2a+b=1\) (**)
Từ (*) và (**), ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=4\\-2a+b=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=3\end{matrix}\right.\)
Thay \(a=1,b=3\) vào (3), ta có:
\(f\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right).5x^2+x+3\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=\left(x^2+x-2\right).5x^2+x+3\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=5x^4+5x^3-10x^2+x+3\)
Vậy \(f\left(x\right)=5x^4+5x^3-10x^2+x+3\)
Mỏi tay quá. Chúc bạn học tốt :)