Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1 :
Ta có : \(\dfrac{1}{3a^2+b^2}+\dfrac{2}{b^2+3ab}=\dfrac{1}{3a^2+b^2}+\dfrac{4}{2b^2+6ab}\)
Theo BĐT Cô - Si dưới dạng engel ta có :
\(\dfrac{1}{3a^2+b^2}+\dfrac{4}{2b^2+6ab}\ge\dfrac{\left(1+2\right)^2}{3a^2+6ab+3b^2}=\dfrac{9}{3\left(a+b\right)^2}=\dfrac{9}{3.1}=3\)
Dấu \("="\) xảy ra khi : \(a=b=\dfrac{1}{2}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(S=\frac{1}{x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{16z}=\frac{1}{x}+\frac{\frac{1}{4}}{y}+\frac{\frac{1}{16}}{z}\ge\frac{\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)^2}{x+y+z}=\frac{\frac{49}{16}}{1}=\frac{49}{16}\)
Đẳng thức xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x=\frac{16}{21}\\y=\frac{4}{21}\\z=\frac{1}{21}\end{cases}}\). Vậy GTNN của S = 49/16
Câu 1:
\(P=\dfrac{x}{4}+\dfrac{3x}{4}+\dfrac{2y}{4}+\dfrac{2y}{4}+\dfrac{3z}{4}+\dfrac{z}{4}+\dfrac{3}{x}+\dfrac{9}{2y}+\dfrac{4}{z}\)
\(P=\dfrac{1}{4}\left(x+2y+3z\right)+\left(\dfrac{3x}{4}+\dfrac{3}{x}\right)+\left(\dfrac{2y}{4}+\dfrac{9}{2y}\right)+\left(\dfrac{z}{4}+\dfrac{4}{z}\right)\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{20}{4}+2\sqrt{\dfrac{3x}{4}.\dfrac{3}{x}}+2\sqrt{\dfrac{2y}{4}.\dfrac{9}{2y}}+2\sqrt{\dfrac{z}{4}.\dfrac{4}{z}}=5+3+3+2=13\)
\(\Rightarrow P_{min}=13\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x+2y+3z=20\\\dfrac{3x}{4}=\dfrac{3}{x}\\\dfrac{2y}{4}=\dfrac{9}{2y}\\\dfrac{z}{4}=\dfrac{4}{z}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=3\\z=4\end{matrix}\right.\)
Câu 2:
Ta có
\(ab+4\ge2\sqrt{4ab}=4\sqrt{ab}\Rightarrow2b\ge4\sqrt{ab}\Rightarrow\sqrt{\dfrac{b}{a}}\ge2\Rightarrow\dfrac{b}{a}\ge4\)
\(P=\dfrac{ab}{a^2+2b^2}=\dfrac{1}{\dfrac{a}{b}+\dfrac{2b}{a}}=\dfrac{1}{\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{16a}+\dfrac{31b}{16a}}\)
\(\Rightarrow P\le\dfrac{1}{2\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{16a}}+\dfrac{31}{16}.\dfrac{b}{a}}\le\dfrac{1}{2.\dfrac{1}{4}+\dfrac{31}{16}.4}=\dfrac{4}{33}\)
\(\Rightarrow P_{max}=\dfrac{4}{33}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}b=4a\\ab+4=2b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=4\end{matrix}\right.\)
Cho mình hỏi câu 1 vì sao bạn lại phân tích được \(2\sqrt{...}\), ....
\(l=\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{y}+\dfrac{9}{z}=\dfrac{1^2}{x}+\dfrac{2^2}{y}+\dfrac{3^2}{z}\ge\dfrac{\left(1+2+3\right)^2}{x+y+z}=\dfrac{36}{1}=36\)
bài 3:
a, đặt x12=y9=z5=kx12=y9=z5=k
=>x=12k,y=9k,z=5k
ta có: ayz=20=> 12k.9k.5k=20
=> (12.9.5)k^3=20
=>540.k^3=20
=>k^3=20/540=1/27
=>k=1/3
=>x=12.1/3=4
y=9.1/3=3
z=5.1/3=5/3
vậy x=4,y=3,z=5/3
b,ta có: x5=y7=z3=x225=y249=z29x5=y7=z3=x225=y249=z29
A/D tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
x5=y7=z3=x225=y249=z29=x2+y2−z225+49−9=58565=9x5=y7=z3=x225=y249=z29=x2+y2−z225+49−9=58565=9
=>x=5.9=45
y=7.9=63
z=3*9=27
vậy x=45,y=63,z=27
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$30=(x+y+z)+(x^2+4)+(y^2+4)+(z^2+4)\geq (x+y+z)+4x+4y+4z=5(x+y+z)$
$\Rightarrow x+y+z\leq 6$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(P\geq \frac{9}{x+y+1+y+z+1+x+z+1}=\frac{9}{2(x+y+z)+3}=\frac{9}{2.6+3}=\frac{3}{5}\)
Vậy $P_{\min}=\frac{3}{5}$ khi $x=y=z=2$
Bài 2. Áp dụng BĐT Cauchy dưới dạng Engel , ta có :
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{y}+\dfrac{9}{z}\) ≥ \(\dfrac{\left(1+4+9\right)^2}{x+y+z}=196\)
⇒ \(P_{MIN}=196."="\) ⇔ \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
bunhia đc k bn