Question

[Yến Nhi]

Bài 1: Cho n số a₁, a₂ ,....,a_n. Mỗi số trong chúng bằng 1 hoặc (-1) và a₁a₂ +a₂a₃+....+ a_na₁ = 0. Hỏi n có thể = 2006 ko?

Bài 2: Cho các số thực dương a,b thỏa mãn: a¹⁰⁰+b¹⁰⁰ = a¹⁰¹+b¹⁰¹ = a¹⁰²+b¹⁰²

Hãy tính giá trị của biểu thức P = a²⁰⁰⁷ + b²⁰⁰⁷.

Answer 1

[Akai Haruma]

Bài 2:

\(a^{100}+b^{100}=a^{101}+b^{101}=a^{102}+b^{102}\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^{100}(a-1)+b^{100}(b-1)=0(1)\\ a^{101}(a-1)+b^{101}(b-1)=0(2)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a^{101}(a-1)-a^{100}(a-1)+b^{101}(b-1)-b^{100}(b-1)=0\) (lấy $(2)-(1)$)

\(\Leftrightarrow a^{100}(a-1)^2+b^{100}(b-1)^2=0\)

Dễ thấy \(a^{100}(a-1)^2\geq 0; b^{100}(b-1)^2\geq 0, \forall a,b\)

Do đó để tổng của chúng là $0$ thì \(a^{100}(a-1)^2=b^{100}(b-1)^2=0\)

Kết hợp với $a,b$ dương nên $a=b=1$

$\Rightarrow P=a^{2007}+b^{2007}=2$

Answer 2

[Akai Haruma]

Bài 1:

Vì $a_i\in \left\{\pm 1\right\}$ nên $a_ia_j\in \left\{\pm 1\right\}$ với mọi $i,j=\overline{1,n}$. Khi đó:

Để tổng gồm $n$ số hạng $a_1a_2+a_2a_3+...+a_na_1=0$ thì $n$ phải chẵn và trong tổng trên có $\frac{n}{2}$ số hạng có giá trị $1$ và $\frac{n}{2}$ số hạng có giá trị $-1$

\(\Rightarrow a_1a_2.a_2a_3....a_na_1=(1)^{\frac{n}{2}}.(-1)^{\frac{n}{2}}=(-1)^{\frac{n}{2}}\)

\(\Leftrightarrow (a_1a_2...a_n)^2=(-1)^{\frac{n}{2}}\)

Vì $(a_1a_2...a_n)^2$ luôn không âm nên $(-1)^{\frac{n}{2}}$ không âm.

$\Rightarrow \forall n\in\mathbb{N}^*$ thì $\frac{n}{2}$ chẵn

$\Rightarrow n\vdots 4$

Mà $2006\not\vdots 4$ nên $n$ không thể là $2006$