MH
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
MV
29 tháng 10 2017
\(x^6-1=\left(x^3-1\right)\left(x^3+1\right)=\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)\\ \RightarrowĐPCM\)
\(2005^3+125=\left(2005+5\right)\left(2005^2+2005\cdot5+5^2\right)=2010\left(2005^2+2005\cdot5+5^2\right)⋮2010\)\(x^2+y^2+z^2+3=2\left(x+y+z\right)\\ \Leftrightarrow x^2+y^2+x^2+3=2x+2y+2z\\ \Leftrightarrow x^2-2x+1+y^2-2y+1+z^2-2z+1=0\\ \Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2=0\\ \left(x-1\right)^2\ge0;\left(y-1\right)^2\ge0;\left(z-1\right)^2\ge0\\ \Rightarrow\left(x-1\right)^2=\left(y-1\right)^2=\left(z-1\right)^2=0\\ \Rightarrow x-1=y-1=z-1=0\\ \Leftrightarrow x=y=z=1\)
AN
29 tháng 10 2017
b) \(2005^3+125\)
\(=2005^3+5^3\)
\(=\left(2005+5\right)\left(2005^2-2005.5+5^2\right)\)
\(=2010\left(2005^2-2005.5+5^2\right)\)\(⋮\) 2010
Vậy \(2005^3+125\) chia hết cho 2010
25 tháng 6 2016
A = a3 - a
A = a.(a2 - 1)
A = a.(a-1).(a+1)
A = (a-1).a.(a+1)
Vì (a-1).a.(a+1) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên (a-1).a.(a+1) chia hết cho 2 và 3
Do (2,3) = 1 => (a-1).a.(a+1) chia hết cho 6 => A chia hết cho 6
Câu A lm đc thì các câu B,C,D trở nên rất đơn giản
B = a3 - a + 6a
Do a3 - a chia hết cho 6, 6a chia hết cho 6
=> B chia hết cho 6
C = a3 + 11a
C = a3 - a + 12a
Do a3 - a chia hết cho 6, 12a chia hết cho 6
=> C chia hết cho 6
D = a3 - 19a
D = a3 - a - 18a
Do a3 - a chia hết cho 6, 18a chia hết cho 6
=> D chia hết cho 6
15 tháng 10 2022
a: \(A=m^6-6m^5+10m^4+m^3+98m-26\)
\(=m^6-m^4+m^3-6m^5+6m^3-6m^2+11m^4-11m^2+11m-6m^3+6m-6+17m^2+81m-20\)
\(=m^3-6m^2+11m-6+\dfrac{17m^2+81m-20}{m^3-m+1}\)
\(C=m^3-6m^2+11m-6=\left(m-1\right)\left(m-3\right)\left(m-2\right)\) luôn chia hết cho 6
b: Để đa thức dư bằng 0 thì 17m^2+81m-20=0
=>m=-5 hoặc m=4/17
2 tháng 8 2017
a) \(\left(x^2+x\right)^2+4\left(x^2+x\right)-12\)
\(=x^4+2x^3+x^2+4x^2+4x-12\)
\(=x^4-x^3+2x^3-2x^2+x^3-x^2+2x^2-2x+6x^2-6x+12x-12\)
\(=x^3\left(x-1\right)+2x^2\left(x-1\right)+x^2\left(x-1\right)+2x\left(x-1\right)+6x\left(x-1\right)+12\left(x-1\right)\)
\(=\left(x^3+ 2x^2+x^2+2x+6x+12\right)\left(x-1\right)\)
\(=\left[x^2\left(x+2\right)+x\left(x+2\right)+6\left(x+2\right)\right]\left(x-1\right)\)
\(=\left(x^2+x+6\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)\)
b) \(\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+4\right)-24\)
\(=\left(x^2+x+2x+2\right)\left(x^2+3x+4x+12\right)-24\)
\(=x^4+x^3+2x^3+2x^2+3x^3+3x^2+6x^2+6x+4x^3+4x^2+8x^2+8x+12x^2+12x+24x+24\)
\(=x^4+5x^3+5x^3+5x^2+10x^2+50x\)
\(=x^2\left(x^2+5x\right)+5x\left(x^2+5x\right)+10\left(x^2+5x\right)\)
\(=\left(x^2+5x+10\right)\left(x^2+5x\right)\).
2 tháng 8 2017
Bài 1:
a, \(\left(x^2+x\right)^2+4\left(x^2+x\right)-12\)
\(=\left(x^2+x\right)^2+2.2\left(x^2+x\right)+4-16\)
=\(\left(x^2+x+2\right)^2-4^2\)
=\(\left(x^2+x-2\right)\left(x^2+x+6\right)\)
b,\(\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+4\right)-24\)
=\(\left(x+1\right)\left(x+4\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)-24\)
\(=\left(x^2+5x+4\right)\left(x^2+5x+6\right)-24\) (1)
Đặt \(x^2+5x+5=a\) thay vào (1) đc:
(1) = \(\left(a-1\right)\left(a+1\right)-24=a^2-25\)
\(=\left(a-5\right)\left(a+5\right)\)\(=\left(x^2+5x\right)\left(x^2+5x+10\right)\)
Bài 2:
\(a,n^2+4n+3=n^2+n+3n+3\)
\(=n(n+1)+3\left(n+1\right)=\left(n+1\right)\left(n+3\right)\)Đặt \(n=2k+1\)
\(\Rightarrow\left(n+1\right)\left(n+3\right)=\left(2k+2\right)\left(2k+4\right)\)
Mà tích của 2 số nguyên chẵn liên tiếp thì chia hết chia hết cho 8
\(\Rightarrowđpcm\)
b,\(n^3+3n^2-n-3=n^2\left(n+3\right)-\left(n+3\right)\)\(=\left(n+3\right)\left(n^2-1\right)\)\(=\left(n+3\right)\left(n+1\right)\left(n-1\right)\)
Mà 48 = 24.3
Đặt \(n=2k+1\) thì
(1) = \(\left(2k+4\right)\left(2k+2\right)2k\)
Tích của 3 số nguyên chẵn liên tiếp thì chia hết cho 16 (I)
Tích của số chẵn liên tiếp thì có một số là bội của 3 (II)
(I);(II)\(\Rightarrow\)đpcm
c,512 = 29
\(n^{12}-n^8-n^4+1=n^8\left(n^4-1\right)-\left(n^4-1\right)\)\(=(n^4-1)\left(n^8-1\right)\)
\(=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\left(n^4+1\right)\)Đặt \(n=2k+1\) thay vào đc:
\(2k\left(2k+2\right)\left(4k^2+4k+2\right)2k\left(2k+2\right)\).
\(\left(4k^2+4k+2\right)\left(16k^4+32k^3+24k^2+8k+2\right)\)Bạn tự chứng minh tiếp nhá!!
4 tháng 4 2020
a/CM: \(\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\ge ab\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) ( luôn đúng với mọi a,b>0)
CM: \(\frac{a^2+b^2}{2}\ge\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{2\left(a^2+b^2\right)}{4}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\) ( luôn đúng)
b/CM: \(\frac{a^3+b^3}{2}\ge\left(\frac{a+b}{2}\right)^3\)
\(\Leftrightarrow\frac{4\left(a^3+b^3\right)}{8}\ge\frac{\left(a+b\right)^3}{8}\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^3+b^3\right)\ge3a^2b+3ab^2\)
\(\Leftrightarrow a^2\left(a-b\right)+b^2\left(b-a\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\) ( luôn đúng với mọi a,b>0)
c/CM: \(a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\)
\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+b^2+ab\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+\frac{2ab}{2}+\frac{b^2}{4}+\frac{3b^2}{4}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(\left(a+\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3b^2}{4}\right)\ge0\) ( luôn đúng)
d/Ta xét hiệu: \(a^4-4a+3\)
\(=a^4-2a^2+1+2a^2-4a+2\)
\(=\left(a-1\right)^2+2\left(a-1\right)^2\ge0\)
Suy ra BĐT luôn đúng
e/Ta xét hiệu:( Làm nhanh)
\(a^3+b^3+c^3-3abc\)\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\left(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right)\ge0\)
f/Ta có: \(\frac{a^6}{b^2}-a^4+\frac{a^2b^2}{4}+\frac{b^6}{a^2}-b^4+\frac{a^2b^2}{4}\)
\(=\left(\frac{a^3}{b}-\frac{ab}{2}\right)^2+\left(\frac{b^3}{a}-\frac{ab}{2}\right)^2\ge0\)(1)
Mà \(\frac{a^2b^2}{4}+\frac{a^2b^2}{4}\ge0\)(2)
Lấy (1) trừ (2) được: \(\frac{a^6}{b^2}+\frac{b^6}{a^2}-a^4-b^4\ge0\RightarrowĐPCM\)
g/Làm rồi..xem lại trong trang cá nhân
h/Xét hiệu có: \(\left(a^5+b^5\right)\left(a+b\right)-\left(a^4+b^4\right)\left(a^2+b^2\right)\)
\(=a^5b+ab^5-a^2b^4-a^4b^2\)
\(=a^4b\left(a-b\right)-ab^4\left(a-b\right)\)
\(=ab\left(a^2-b^2\right)\left(a-b\right)\)
\(=ab\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\forall ab>0\)
Suy ra ĐPCM
7 tháng 6 2022
Bài 2:
\(\Leftrightarrow x^4-x^3+5x^2+x^2-x+5+n-5⋮x^2-x+5\)
=>n-5=0
hay n=5
a3 + b3 + c3 + 5a + 5b + 5c
= a3 - a + b3 - b + c3 - c + 6a + 6b + 6c
= a(a2 - 1) + b(b2 - 1) + c(c2 - 1) + 6a + 6b + 6c
= a(a - 1)(a + 1) + b(b - 1)(b + 1) + c(c - 1)(c + 1) + 6(a + b + c)
a;b;c \(\in Z\) nên a(a - 1)(a + 1); b(b - 1)(b + 1); c(c - 1)(c + 1) là tích 3 số nguyên liên tiếp
=> a(a - 1)(a + 1); b(b - 1)(b + 1); c(c - 1)(c + 1) chia hết cho 3
Mà 6(a + b + c) chia hết cho 6
Do đó a(a - 1)(a + 1) + b(b - 1)(b + 1) + c(c - 1)(c + 1) + 6(a + b + c) chia hết cho 6
hay a3 + b3 + c3 + 5a + 5b + 5c chia hết cho 6 (đpcm)