Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
2.
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki :
\(\left(1+9^2\right)\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\ge\left(x+\frac{9}{x}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow82\cdot\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\ge\left(x+\frac{9}{x}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{82}\cdot\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}\ge x+\frac{9}{x}\)
Tương tự ta cũng có :
\(\sqrt{82}\cdot\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}\ge y+\frac{9}{y}\)
\(\sqrt{82}\cdot\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\ge z+\frac{9}{z}\)
Cộng theo vế của các bất đẳng thức ta được :
\(\sqrt{82}\cdot\left(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\right)\ge x+y+z+\frac{9}{x}+\frac{9}{y}+\frac{9}{z}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{82}\cdot P\ge x+\frac{9}{x}+y+\frac{9}{y}+z+\frac{9}{z}\)(1)
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :
\(x+\frac{9}{x}+y+\frac{9}{y}+z+\frac{9}{z}=81x+\frac{9}{x}+81y+\frac{9}{y}+81z+\frac{9}{z}-80x-80y-80z\)
\(\ge2\sqrt{\frac{81x\cdot9}{x}}+2\sqrt{\frac{81y\cdot9}{y}}+2\sqrt{\frac{81z\cdot9}{z}}-80\left(x+y+z\right)\)
\(\ge2\sqrt{729}+2\sqrt{729}+2\sqrt{729}-80\cdot1\)
\(=82\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\sqrt{82}\cdot P\ge82\)
\(\Leftrightarrow P\ge\sqrt{82}\) ( đpcm )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)
1.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy :
\(\frac{a^2+1}{a}+\frac{b^2+1}{b}+\frac{c^2+1}{c}\)
\(=a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b}+c+\frac{1}{c}\)
\(=9a+\frac{1}{a}+9b+\frac{1}{b}+9c+\frac{1}{c}-8a-8b-8c\)
\(\ge2\sqrt{\frac{9a}{a}}+2\sqrt{\frac{9b}{b}}+2\sqrt{\frac{9c}{c}}-8\left(a+b+c\right)\)
\(\ge3\cdot2\sqrt{9}-8=10\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)
Mình nghĩ CM bằng BĐT Bunhiacopxky đã là chi tiết rồi nhưng nếu bạn muốn chi tiết hơn nữa thì thế này:
Xét hiệu:\(\left(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\right)(x+y+z)-(a+b+c)^2\)
\(=a^2+a^2.\frac{y}{x}+a^2.\frac{z}{x}+b^2+b^2.\frac{x}{y}+b^2.\frac{z}{y}+c^2+c^2.\frac{x}{z}+c^2.\frac{y}{z}-(a^2+b^2+c^2-2ab-2bc-2ac)\)
\(=(a^2.\frac{y}{x}+b^2.\frac{x}{y}-2ab)+(a^2.\frac{z}{x}+c^2.\frac{x}{z}-2ac)+(b^2.\frac{z}{y}+c^2.\frac{y}{z}-2bc)\)
\(=(a\sqrt{\frac{y}{x}}-b\sqrt{\frac{x}{y}})^2+(a\sqrt{\frac{z}{x}}-c\sqrt{\frac{x}{z}})^2+(b\sqrt{\frac{z}{y}}-c\sqrt{\frac{y}{z}})^2\geq 0\) với mọi $a,b,c,x,y,z>0$
Do đó:\(\left(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\right)(x+y+z)\geq (a+b+c)^2\)
\(\Rightarrow \frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\geq \frac{(a+b+c)^2}{x+y+z}\) (đpcm)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(\left(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\right)(x+y+z)\geq (a+b+c)^2\)
\(\Rightarrow \frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\geq \frac{(a+b+c)^2}{x+z+y}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)
Bài 1:
Ta có: \(\dfrac{2a}{\sqrt{1+a^2}}=\dfrac{2a}{\sqrt{ab+bc+ca+a^2}}=\dfrac{2a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)
\(\dfrac{b}{\sqrt{1+b^2}}=\dfrac{b}{\sqrt{ab+bc+ca+b^2}}=\dfrac{b}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\)
\(\dfrac{c}{\sqrt{1+c^2}}=\dfrac{c}{\sqrt{ab+bc+ca+c^2}}=\dfrac{c}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\)
Vậy \(P=\dfrac{2a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\dfrac{b}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}+\dfrac{c}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(P\le a\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}\right)+b\left(\dfrac{1}{4\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{a+c}\right)+c\left(\dfrac{1}{4\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{a+c}\right)=\dfrac{9}{4}\)
Bài 2:
Ta có:
\(\dfrac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}=\dfrac{2+\sqrt{4\left(1+x^2\right)}}{2x}\le\dfrac{2+\dfrac{4+\left(1+x^2\right)}{2}}{2x}=\dfrac{9+x^2}{4x}\)
Tương tự ta cũng có:
\(\dfrac{1+\sqrt{1+y^2}}{y}\le\dfrac{9+y^2}{4y};\dfrac{1+\sqrt{1+z^2}}{z}\le\dfrac{9+z^2}{4z}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(\dfrac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}+\dfrac{1+\sqrt{1+y^2}}{y}+\dfrac{1+\sqrt{1+z^2}}{z}\le\dfrac{9+x^2}{4x}+\dfrac{9+y^2}{4y}+\dfrac{9+z^2}{4z}\)
\(=\dfrac{9\left(xy+yz+xz\right)+xyz\left(x+y+z\right)}{4xyz}\le\dfrac{9\cdot\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+\left(xyz\right)^2}{4xyz}=xyz\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{3}\)
Bài 1:
\(\dfrac{2a}{\sqrt{1+a^2}}=\dfrac{2a}{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}=\dfrac{2a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)
Sau đó côsi
Tự làm nốt nhé, ra 3/2 đấy. Em học lớp 8 nên cách giải chỉ thế thôi. Câu 2 em chưa làm được