Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\left(x^{-4}+x^{\frac{5}{2}}\right)^{12}\) có SHTQ: \(C_{12}^kx^{-4k}.x^{\frac{5}{2}\left(12-k\right)}=C^k_{12}x^{30-\frac{13}{2}k}\)
Số hạng chứa \(x^8\Rightarrow30-\frac{13}{2}k=8\Rightarrow\) ko có k nguyên thỏa mãn
Vậy trong khai triển trên ko có số hạng chứa \(x^8\)
b/ \(\left(1-x^2+x^4\right)^{16}\)
\(\left\{{}\begin{matrix}k_0+k_2+k_4=16\\2k_2+4k_4=16\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(k_0;k_2;k_4\right)=\left(8;8;0\right);\left(9;6;1\right);\left(10;4;2\right);\left(11;2;3\right);\left(12;0;4\right)\)
Hệ số của số hạng chứa \(x^{16}\):
\(\frac{16!}{8!.8!}+\frac{16!}{9!.6!}+\frac{16!}{10!.4!.2!}+\frac{16!}{11!.2!.3!}+\frac{16!}{12!.4!}=...\)
c/ SHTQ của khai triển \(\left(1-2x\right)^5\) là \(C_5^k\left(-2\right)^kx^k\)
Số hạng chứa \(x^4\) có hệ số: \(C_5^4.\left(-2\right)^4\)
SHTQ của khai triển \(\left(1+3x\right)^{10}\) là: \(C_{10}^k3^kx^k\)
Số hạng chứa \(x^3\) có hệ số \(C_{10}^33^3\)
\(\Rightarrow\) Hệ số của số hạng chứa \(x^5\) là: \(C_5^4\left(-2\right)^4+C_{10}^3.3^3\)
\(\left(x^{-\frac{2}{3}}+x^{\frac{3}{4}}\right)^{17}=\sum\limits^{17}_{k=0}C_{17}^k\left(x^{-\frac{2}{3}}\right)^k\left(x^{\frac{3}{4}}\right)^{17-k}=\sum\limits^{17}_{k=0}C_{17}^kx^{\frac{51}{4}-\frac{17}{12}k}\)
Số hạng thứ 13 \(\Rightarrow k=12\) là: \(C_{17}^{12}x^{-\frac{17}{4}}\)
b/ Xét khai triển:
\(\left(3-x\right)^n=C_n^03^n+C_n^13^{n-1}\left(-x\right)^1+C_n^23^{n-2}\left(-x\right)^2+...+C_n^n\left(-x\right)^n\)
Cho \(x=1\) ta được:
\(2^n=3^nC_n^0-3^{n-1}C_n^1+3^{n-2}C_n^2+...+\left(-1\right)^nC_n^n\)
À, đến đây mới thấy đề thiếu, biết rằng cái kia làm sao hả bạn?
Làm xong rồi nhấn gửi thì lỗi, làm lại từ đầu nên chỉ làm 2 câu thôi, 2 câu sau bạn tự làm tương tự:
a/ \(\sum\limits^8_{k=0}C_8^kx^{2k}\left(1-x\right)^k=\sum\limits^8_{k=0}\sum\limits^k_{i=0}C_8^kC_k^i\left(-1\right)^ix^{2k+i}\)
Số hạng chứa \(x^8\) có:
\(\left\{{}\begin{matrix}2k+i=8\\0\le i\le k\le8\\i;k\in N\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(i;k\right)=\left(0;4\right);\left(2;3\right)\)
Hệ số: \(C_8^4C_4^0.\left(-1\right)^0+C_8^3C_3^2.\left(-1\right)^2\)
b/ \(1+x+x^2+x^3=\left(1+x\right)\left(1+x^2\right)\)
\(\Rightarrow\left(1+x+x^2+x^3\right)^{10}=\left(1+x\right)^{10}\left(1+x^2\right)^{10}\)
\(=\sum\limits^{10}_{k=0}C_{10}^kx^k\sum\limits^{10}_{i=0}C_{10}^ix^{2i}=\sum\limits^{10}_{k=0}\sum\limits^{10}_{i=0}C_{10}^kC_{10}^ix^{2i+k}\)
Số hạng chứa \(x^5\) có:
\(\left\{{}\begin{matrix}2i+k=5\\0\le k\le10\\0\le i\le10\\i;k\in N\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(i;k\right)=\left(0;5\right);\left(1;3\right);\left(2;1\right)\)
Hệ số: \(C_{10}^0C_{10}^5+C_{10}^1C_{10}^3+C_{10}^2C_{10}^1\)
\(\left(1+x\right)^n\) có SHTQ \(C_n^kx^k\)
\(\Rightarrow\) số hạng chứa \(x^3\) có \(k=3\)
Hệ số:
\(T=C_3^3+C_4^3+C_5^3+...+C_{50}^3\)
\(T=C_4^4+C_4^3+C_5^3+...+C_{50}^3\) (do \(C_3^3=1=C_4^4\))
\(T=C_5^4+C_5^3+C_6^3+...+C_{50}^3\)
\(T=C_6^4+C_6^3+...+C_{50}^3=...=C_{51}^4\)
Chắc bạn viết nhầm biểu thức \(B\left(x\right)\), có lẽ biểu thức đúng là thế này:
\(B\left(x\right)=\left(1+2x\right)^3+\left(1+2x\right)^4+...+\left(1+2x\right)^{22}\)
Số hạng tổng quát của khai triển \(\left(1+2x\right)^n\) là \(C_n^k2^kx^k\)
Số hạng chứa \(x^3\) có hệ số \(C_n^32^3\)
\(\Rightarrow\) Hệ số của \(x^3\) trong khai triển \(B\left(x\right)\) là:
\(T=2^3\left(C_3^3+C_4^3+...+C_{22}^3\right)=2^3.C_{23}^4\) (chứng minh tổng trong ngoặc tương tự câu trên)
16.
\(y'=\frac{\left(cos2x\right)'}{2\sqrt{cos2x}}=\frac{-2sin2x}{2\sqrt{cos2x}}=-\frac{sin2x}{\sqrt{cos2x}}\)
17.
\(y'=4x^3-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
18.
\(y'=3x^2-2x\)
\(y'\left(-2\right)=16;y\left(-2\right)=-12\)
Pttt: \(y=16\left(x+2\right)-12\Leftrightarrow y=16x+20\)
19.
\(y'=-\frac{1}{x^2}=-x^{-2}\)
\(y''=2x^{-3}=\frac{2}{x^3}\)
20.
\(\left(cotx\right)'=-\frac{1}{sin^2x}\)
21.
\(y'=1+\frac{4}{x^2}=\frac{x^2+4}{x^2}\)
22.
\(lim\left(3^n\right)=+\infty\)
11.
\(\lim\limits_{x\rightarrow1^+}\frac{-2x+1}{x-1}=\frac{-1}{0}=-\infty\)
12.
\(y=cotx\Rightarrow y'=-\frac{1}{sin^2x}\)
13.
\(y'=2020\left(x^3-2x^2\right)^{2019}.\left(x^3-2x^2\right)'=2020\left(x^3-2x^2\right)^{2019}\left(3x^2-4x\right)\)
14.
\(y'=\frac{\left(4x^2+3x+1\right)'}{2\sqrt{4x^2+3x+1}}=\frac{8x+3}{2\sqrt{4x^2+3x+1}}\)
15.
\(y'=4\left(x-5\right)^3\)
\(\left(x+x^{-1}\right)^n=\sum\limits^n_{k=0}C_n^kx^k\left(x^{-1}\right)^{n-k}=\sum\limits^n_{k=0}C_n^kx^{2k-n}\)
Theo bài ra ta có: \(C_n^2-C_n^1=35\)
\(\Leftrightarrow\frac{n!}{2!\left(n-2\right)!}-\frac{n!}{\left(n-1\right)!}=35\)
\(\Leftrightarrow\frac{n\left(n-1\right)}{2}-n=35\)
\(\Leftrightarrow n^2-3n-70=0\Rightarrow n=10\)
Số hạng ko chứa x \(\Rightarrow2k-n=0\Rightarrow k=\frac{n}{2}=5\)
Số hạng đó là \(C_{10}^5\)
Đầu tiên ta có \(\left(1+x\right)^{20}\) có SHTQ \(C_{20}^kx^k\)
\(\Rightarrow\) Hệ số của số hạng chứa \(x^{10}\) là \(C_{20}^{10}\) (1)
Ta cũng có khai triển:
\(\left(1+x\right)^{10}\left(x+1\right)^{10}=\sum\limits^{10}_{k=0}\sum\limits^{10}_{i=0}C_{10}^kC^i_{10}x^{10+i-k}\)
Số hạng chứa \(x^{10}\Rightarrow10+i-k=10\Rightarrow i=k\)
\(\Rightarrow\) Hệ số của số hạng chứa \(x^{10}\) là:
\(\sum\limits^{10}_{k=0}\sum\limits^{10}_{i=0}C_{10}^kC_{10}^i=\sum\limits^{10}_{k=0}\left(C_{10}^k\right)^2=\left(C_{10}^0\right)^2+\left(C_{10}^1\right)^2+...+\left(C_{10}^{10}\right)^2\)
Mà từ (1) ta có hệ số của số hạng chứa \(x^{10}\) là \(C_{20}^{10}\Rightarrow S=C_{20}^{10}\)
\(\sum_{k=1}^nC^k_{2n+1}=2^{20}-1\)
\(\frac{\sum_{k=1}^n\left(2C^k_{2n+1}\right)+1+1}{2}=2^{20}\)
\(C^0_{2n+1}+\sum_{k=1}^n\left(C^k_{2n+1}+C_{2n+1}^{2n+1-k}\right)+C^{2n+1}_{2n+1}=2^{21}\)
\(\sum_{k=0}^{2n+1}C^k_{2n+1}=2^{21}\)
\(\Rightarrow2n+1=21\Rightarrow n=10\)
Số hạng chứa \(x^{26}\) có dạng là:
\(C^k_{10}.\left(\frac{1}{x^4}\right)^k.\left(x^7\right)^{10-k}\Rightarrow-4k+7.\left(10-k\right)=26\)
\(\Rightarrow k=4\)
hệ số của \(x^{26}\) là:
\(C^4_{10}=210\)
a/ \(\frac{A^4_n}{A_{n+1}^3-C_n^{n-4}}=\frac{24}{23}\Rightarrow n=5\)
Khai triển \(\left(2-3x^2+x^3\right)^5\)
\(\left\{{}\begin{matrix}k_0+k_2+k_3=5\\2k_2+3k_3=9\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(k_0;k_2;k_3\right)=\left(1;3;1\right);\left(2;0;3\right)\)
Hệ số của số hạng chứa \(x^9\):
\(\frac{5!}{1!.3!.1!}.2^1.\left(-3\right)^3+\frac{5!}{2!.3!}.2^2.\left(-3\right)^0=-1040\)
b/ SHTQ của khai triển: \(\left(1+2x\right)^n\) là: \(C_n^k2^kx^k\)
\(\Rightarrow\) Hệ số của \(x^3\) trong khai triển tổng quát là \(C_n^32^3\)
\(\Rightarrow\) Hệ số của \(x^3\) trong khai triển của \(f\left(x\right)\): \(2^3.\sum\limits^{22}_{n=3}C_n^3\)
Tính tổng \(C_3^3+C_4^3+C_5^3+...+C_{22}^3\)
\(=C_4^4+C_4^3+C_5^3+...+C_{22}^3\)
\(=C_5^4+C_5^3+...+C_{22}^3\)
\(=C_6^4+C_6^3+...+C_{22}^3=...=C_{23}^4\)
Vậy \(2^3\sum\limits^{22}_{n=3}C_n^3=2^3.C_{23}^4\)