Question

[Buddy]

a) Cho hình chữ nhật ABCD có hai cạnh kề AB và BC bằng nhau. ABCD có phải là hình vuông hay không?

b) Cho hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau (hình 69).

- Đường thẳng có phải là đường trung trực của đoạn thẳng BD hay không?

c) Cho hình chữ nhật ABCD có AC là tia phân giác của góc DAB

- Tam giác ABC có phải là tam giác vuông cân hay không?

ABCD có phải là hình vuông hay không?

Answer 1

[Hà Quang Minh]

a, Hình chữ nhật ABCD có AB = BC

Suy ra hình chữ nhật ABCD có \(\widehat A = \widehat B = \widehat C = \widehat D = {90^0};AB = BC = CD = DA\)

Suy ra hình chữ nhật ABCD là hình vuông

b, O là giao điểm của AC và BD.

Vì ABCD là hình chữ nhật nên OB = OD.

Mà AC vuông góc BD. Suy ra AC là đường trung trực của đoạn thẳng BD.

Xét \(\Delta ABD\) có AO vừa là đường trung trực vừa là đường cao

\( \Rightarrow \Delta ABD \) là tam giác vuông cân tại A.

\( \Rightarrow AB = AD\)

Mà AB = CD, AD = BC (tính chất hình chữ nhật)

\(\Rightarrow AB = BC = CD = DA\) nên ABCD là hình vuông.

c, Ta có ABCD là hình chữ nhật nên \(\widehat A =\widehat B = \widehat C = \widehat D = 90^0\)

Vì AC là tia phân giác của góc DAB nên ta có: \(\widehat{DAC} = \widehat{CAB} =\frac{\widehat{DAB}}{2} = \frac{90^0}{2} = 45^0\)

Xét tam giác ABC vuông tại B (\(\widehat B = 90^0\)), ta có:

\(\widehat{ACB} + \widehat B + \widehat{CAB} = 180^0\)

\(\Rightarrow \widehat{ACB} = 180^0 - \widehat B - \widehat{CAB} = 180^0 - 90^0 - 45^0 = 45^0\)

\( \Rightarrow \widehat{ACB} = \widehat{CAB} =45^0\) nên tam giác ABC vuông cân tại B.

\( \Rightarrow AB = BC\)

Mà AB = CD, BC = AD (tính chất hình chữ nhật)

\(\Rightarrow AB = BC = CD = DA\) nên ABCD là hình vuông.