Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\geq \frac{4}{2ab+a^2+b^2}=\frac{4}{a+b)^2}=4(1)\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(1=a+b\geq 2\sqrt{ab}\Rightarrow ab\leq \frac{1}{4}\Rightarrow \frac{3}{2ab}\geq 6(2)\)
\(a^4+b^4\geq \frac{(a^2+b^2)^2}{2}\geq \frac{(\frac{(a+b)^2}{2})^2}{2}=\frac{1}{8}\) \(\Rightarrow \frac{a^4+b^4}{2}\geq \frac{1}{16}(3)\)
Từ \((1);(2);(3)\Rightarrow P\geq 4+6+\frac{1}{16}=\frac{161}{16}\)
Vậy \(P_{\min}=\frac{161}{16}\). Dấu bằng xảy ra tại $a=b=0,5$
Bài 2:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(2\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)\geq 2. \frac{4}{x^2+y^2+2xy}=\frac{8}{(x+y)^2}=\frac{9}{2}\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{80}{81xy}+5xy\geq 2\sqrt{\frac{80}{81}.5}=\frac{40}{9}\)
\(\frac{4}{3}=a+b\geq 2\sqrt{ab}\Rightarrow ab\leq \frac{4}{9}\Rightarrow \frac{1}{81ab}\geq \frac{1}{36}\)
Cộng những BĐT vừa cm được ở trên với nhau:
\(\Rightarrow A\geq \frac{9}{2}+\frac{40}{9}+\frac{1}{36}=\frac{323}{36}\)
Vậy \(A_{\min}=\frac{323}{36}\Leftrightarrow a=b=\frac{2}{3}\)
Do \(a,b,c>0\) nên theo quy tắc phân số: \(\dfrac{a}{a+b}< \dfrac{a+c}{a+b+c}\)
Tương tự: \(\dfrac{b}{b+c}< \dfrac{a+b}{a+b+c}\); \(\dfrac{c}{a+c}< \dfrac{b+c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{a+c}< \dfrac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
Theo BĐT Cauchy: \(\sqrt{a\left(b+c\right)}\le\dfrac{a+b+c}{2}\Leftrightarrow\dfrac{2}{a+b+c}\le\dfrac{1}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2a}{a+b+c}\le\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}\)
Tương tự \(\dfrac{2b}{a+b+c}\le\sqrt{\dfrac{b}{a+c}}\); \(\dfrac{2c}{a+b+c}\le\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}\)
(3 dấu = không thể đồng thời xảy ra, để chặt chẽ bạn có thể chia trường hợp)
Cộng vế với vế:
\(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{a+c}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}>\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{a+c}< \sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{a+c}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}\)
ko sai đề. mình vừa nghĩ ra rồi
P=\(a+\frac{1}{2}\sqrt{a.4b}+\frac{1}{4}\sqrt[3]{a.4b.16c} \le a+\frac {a+4b}{4}+\frac{a+4b+16c}{12}=\frac{4(a+b+c)}{3}=\frac{4}{3}\)
a: \(=\dfrac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}\left(a-\sqrt{a}+1\right)}\cdot\dfrac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+1\right)\left(a-\sqrt{a}+1\right)}{1}\)
\(=a-1\)
b: \(=\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}-1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}+\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{2\sqrt{ab}}\cdot\left(\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}+\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}\right)\)
\(=\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}-1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}+\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{2\sqrt{ab}}\cdot\dfrac{\sqrt{ab}+b+\sqrt{ab}-b}{\sqrt{a}\left(a-b\right)}\)
\(=\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}-1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}+\dfrac{1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}=\dfrac{1}{\sqrt{a}}\)
c: \(=\dfrac{a\sqrt{b}+b}{a-b}\cdot\sqrt{\dfrac{ab+b^2-2b\sqrt{ab}}{a^2+2a\sqrt{b}+b}}\cdot\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\)
\(=\dfrac{\sqrt{b}\left(a+\sqrt{b}\right)}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\cdot\sqrt{\dfrac{b\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{\left(a+\sqrt{b}\right)^2}}\)
\(=\dfrac{\sqrt{b}\left(a+\sqrt{b}\right)}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\cdot\dfrac{\sqrt{b}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{a+\sqrt{b}}=b\)
Lời giải:
Ta có:
\(A+B=a\sqrt{a}+\sqrt{ab}+b\sqrt{b}+\sqrt{ab}\)
\(=(\sqrt{a})^3+(\sqrt{b})^3+2\sqrt{ab}\)
\(=(\sqrt{a}+\sqrt{b})(a-\sqrt{ab}+b)+2\sqrt{ab}\)
\(=(\sqrt{a}+\sqrt{b})[(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2-3\sqrt{ab}]+2\sqrt{ab}\)
Ta thấy \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\in\mathbb{Q}; \sqrt{ab}\in\mathbb{Q}\) nên:
\((\sqrt{a}+\sqrt{b})[(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2-3\sqrt{ab}]\in\mathbb{Q}\) và \(2\sqrt{ab}\in\mathbb{Q}\)
Do đó: \(A+B\in\mathbb{Q}\)
Mặt khác:
\(AB=\sqrt{a}(a+\sqrt{b}).\sqrt{b}(b+\sqrt{a})\)
\(=\sqrt{ab}(a+\sqrt{b})(b+\sqrt{a})\)
\(=\sqrt{ab}(ab+a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+\sqrt{ab})\)
\(=\sqrt{ab}(A+B)\)
Do $A+B$ là số hữu tỉ (cmt) và $\sqrt{ab}$ cũng là số hữu tỉ, nên \(AB\) là số hữu tỉ.
Bác Akai Haruma làm nhầm đoạn cuối. Chắc do học nhiều nên mệt. Mình đại diện các bạn khác tiếp sức cho bác.
\(AB=\sqrt{ab}\left(a+\sqrt{b}\right)\left(b+\sqrt{a}\right)\)
\(=\sqrt{ab}\left(ab+a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+\sqrt{ab}\right)\)
\(=\sqrt{ab}\left(ab-\sqrt{ab}+a\sqrt{a}+\sqrt{ab}+b\sqrt{b}+\sqrt{ab}\right)\)
\(=\sqrt{ab}\left(ab-\sqrt{ab}+A+B\right)\)
Vì \(\left\{{}\begin{matrix}A+B\in Q\\\sqrt{ab}\in Q\\ab\in Q\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow AB\in Q\)
Lời giải:
Bài này bạn chịu khó tìm điểm rơi rồi áp BĐT AM-GM vào thôi:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\sqrt{ab}=\frac{1}{2}\sqrt{a.4b}\leq \frac{a+4b}{4}\)
\(\sqrt[3]{abc}=\frac{1}{4}\sqrt[3]{a.4b.16c}\leq \frac{a+4b+16c}{12}\)
Cộng theo vế:
\(\Rightarrow a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}\leq a+\frac{a+4b}{4}+\frac{a+4b+16c}{12}=\frac{4}{3}(a+b+c)\)
Mà \(a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}=\frac{4}{3}\Rightarrow a+b+c\geq 1\)
Vậy \((a+b+c)_{\min}=1\)