Question

[Nguyễn Trang Anh]

9. Cho PQR vuông tại P (PQ < PR). Vẽ QI là tia phân giác của góc PQR. Kẻ IH ⊥ QR
(H QR).
a) Chứng minh PQI = HQI b) Chứng minh IQ là tia phân giác của góc PIH
c) Chứng minh PH ⊥ QI
d) Trên tia đối của tia PQ lấy điểm K sao cho PK = HR. Chứng minh 3 điểm H, I, K thẳng
hàng

Answer 1

[Nguyễn Ngọc Anh Minh]

P Q R I H K

a/

Xét tg vuông PQI và tg vuông HQI có

QI chung

\(\widehat{PQI}=\widehat{HQI}\left(gt\right)\)

=> tg PQI = tg HQI (hai tg vuông có cạnh huyền và 1 góc nhọn bằng nhau)

c/

Xét tg PQH có

tg PQI = tg HQI (cmt) => PQ=HQ => th PQH cân tại Q

\(\widehat{PQI}=\widehat{HQI}\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow PH\perp QI\) (trong tg cân đường phân giác của góc ở đỉnh tg cân đồng thời là đường cao)

d/

Xét tg QKR có

PQ=HQ (cmt)

PK=HR (gt)

=> PQ+PK=HQ+HR => QK=QR => tg QKR cân tại Q

\(\widehat{PQI}=\widehat{HQI}\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow QI\perp KR\) (trong tg cân đường phân giác của góc ở đỉnh tg cân đồng thời là đường cao)

Ta có

\(RP\perp QK\)

\(\Rightarrow KI\perp QR\) (trong tg 3 đường cao đồng quy)

Mặt khác \(IH\perp QR\left(gt\right)\)

=> H; I; K thẳng hàng (Từ 1 điểm ngoài đường thẳng cho trước chỉ dựng được duy nhất 1 đường thẳng vuông góc với đường thẳng đã cho)