Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông đối với tam giác vuông $AHB$, đường cao $HE$:
$EA.EB=HE^2$
Tương tự: $FA.FC=HF^2$
$\Rightarrow EA.EB+FA.FC=HE^2+HF^2=EF^2(1)$ (định lý Pitago)
Mặt khác: Dễ thấy $HEAF$ là hình chữ nhật do có 3 góc $\widehat{E}=\widehat{A}=\widehat{F}=90^0$
$\Rightarrow EF=HA$
$\Rightarrow EF^2=HA^2(2)$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $ABC$:
$AH^2=HB.HC(3)$
Từ $(1);(2); (3)\Rightarrow EA.EB+FA.FC=HB.HC$ (đpcm)
1: Xét ΔABC vuông tại A có
\(BC^2=AB^2+AC^2\)
hay BC=5(cm)
Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)
hay AH=2,4(cm)
b: Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABH vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh huyền AB, ta được:
\(BE\cdot BA=BH^2\)
hay \(BE=\dfrac{BH^2}{BA}\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔACH vuông tại H có HF là đường cao ứng với cạnh huyền CA, ta được:
\(CF\cdot CA=CH^2\)
hay \(CF=\dfrac{CH^2}{CA}\)
Ta có: \(\dfrac{BE}{CF}=\dfrac{BH^2}{AB}:\dfrac{CH^2}{CA}\)
\(=\dfrac{BH^2}{CH^2}\cdot\dfrac{AC}{AB}\)
\(=\dfrac{AB^4\cdot AC}{AC^4\cdot AC}=\dfrac{AB^3}{AC^3}\)
Bài 1:
Vì \(DH\parallel AC\Rightarrow \frac{BD}{BA}=\frac{BH}{BC}\) (định lý Ta-lét)
Vì \(EH\parallel BA\Rightarrow \frac{EC}{CA}=\frac{CH}{CB}\) (Ta-lét)
\(\Rightarrow \frac{BD}{BA}.\frac{CA}{EC}=\frac{BH}{CH}(1)\)
Theo công thức lượng trong tam giác vuông (sgk) thì :
\(\left\{\begin{matrix} AB^2=BH.BC\\ AC^2=CH.CB\end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{BH}{CH}=\frac{AB^2}{AC^2}(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow \frac{BD}{BA}.\frac{CA}{EC}=\frac{AB^2}{AC^2}\)
\(\Rightarrow \frac{BD}{EC}=\frac{AB^3}{AC^3}=\left(\frac{AB}{AC}\right)^3\) (đpcm)
b)
Ta có: \(BH+CH=BC=10\)
\(BH.CH=AH^2=25\) (theo hệ thức lượng)
\(\Rightarrow BH=CH=5\) (cm)
Theo hệ thức lượng:
\(\frac{1}{DH^2}=\frac{1}{BH^2}+\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{5^2}+\frac{1}{5^2}\Rightarrow DH=\frac{5}{\sqrt{2}}\)
\(\frac{1}{HE^2}=\frac{1}{AH^2}+\frac{1}{HC^2}=\frac{1}{5^2}+\frac{1}{5^2}\Rightarrow HE=\frac{5}{\sqrt{2}}\)
\(S_{ADHE}=DH.HE=\frac{25}{2}\) (cm vuông)
1c)
Theo tính chất đường phân giác:
\(\frac{KI}{BK}=\frac{CI}{CB}\Rightarrow \frac{BI}{BK}=\frac{CI+CB}{CB}\)
\(\frac{KF}{CK}=\frac{BF}{BC}\Rightarrow \frac{CF}{CK}=\frac{BF+BC}{BC}\)
\(\Rightarrow \frac{BI}{BK}.\frac{CF}{CK}=\frac{(CI+CB)(BF+BC)}{BC^2}(1)\)
Cũng theo tính chất tia phân giác:
\(\frac{CI}{AI}=\frac{BC}{AB}\Rightarrow \frac{CI}{AC}=\frac{BC}{BC+AB}(2)\)
\(\frac{BF}{AF}=\frac{BC}{AC}\Rightarrow \frac{BF}{BA}=\frac{BC}{AC+BC}(3)\)
Từ (1);(2);(3) , thay thế và rút gọn suy ra:
\(\frac{BI}{BK}.\frac{CF}{CK}=\frac{(AB+BC+AC)^2}{(AB+BC)(AC+BC)}\)
\(=\frac{AB^2+AC^2+BC^2+2(AB.AC+AB.BC+AC.BC)}{AB.AC+AB.BC+AC.BC+BC^2}\)
\(=\frac{2BC^2+2(AB.AC+AB.BC+AC.BC)}{AB.AC+AB.BC+AC.BC+BC^2}=2\) (theo định lý Pitago)
Do đó:
\(BI.CF=2BK.CK\) (đpcm)