Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng BĐT AM - GM ta có:
\(4\sqrt{ab}=2\sqrt{a.4b}\le a+4b\)
\(4\sqrt{bc}=2\sqrt{b.4c}\le b+4c\)
\(4\sqrt[3]{abc}=\sqrt[3]{a.4b.16c}\le\frac{a+4b+16c}{3}\)
Cộng theo vế 3 BĐT ta được:
\(8a+3b+4\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt[3]{abc}\right)\le\frac{28}{3}\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow P\le\frac{28\left(a+b+c\right)}{3+3\left(a+b+c\right)^2}=\frac{14}{3}-\frac{14\left(a+b+c-1\right)^2}{3\left[\left(a+b+c\right)^2+1\right]}\le\frac{14}{3}\)
\(\Rightarrow Max_P=\frac{14}{3}\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a+b+c=1\)và \(a=4b=16c\)
\(\Leftrightarrow a=\frac{16}{21};b=\frac{4}{21};c=\frac{1}{21}\)
Mẫu là abc nó lại khác nó dễ hơn thế này nhiều vì khi đó mẫu và tử sẽ hết abc
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:
\(\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\ge\sqrt{ac}+\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{a}{a+\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)\(\le\frac{a}{a+\sqrt{ab}+\sqrt{ac}}\)=\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)(1)
Tương tự ta có: \(\frac{b}{b+\sqrt{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}}\le\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)(2)
\(\frac{c}{c+\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\le\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)(3)
Cộng theo vế của (1);(2)&(3) ta đc:
A\(\le1\)
Dấu''='' xảy ra\(\Leftrightarrow\)a=b=c
1) \(\left\{{}\begin{matrix}b+c-a=x\\c+a-b=y\\a+b-c=z\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{y+z}{2}\\b=\frac{z+x}{2}\\c=\frac{x+y}{2}\end{matrix}\right.\)
BĐT cần cm trở thành:
\(\frac{y+z}{2x}+\frac{z+x}{2y}+\frac{x+y}{2z}\ge3\)
Theo AM-GM, VT>=6/2=3
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c
2)\(x^2\left(y+z\right)\ge2x^2\sqrt{yz}=2x^2\sqrt{\frac{1}{x}}=2x\sqrt{x}\)
=>\(P\ge\frac{2x\sqrt{x}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{2y\sqrt{y}}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{z}}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x\sqrt{x}=a\\y\sqrt{y}=b\\z\sqrt{z}=c\end{matrix}\right.\Rightarrow abc=1\)
=>\(P\ge\frac{2a}{b+2c}+\frac{2b}{c+2a}+\frac{2c}{a+2b}\ge2.1=2\)
(Dùng Cauchy-Schwartz chứng minh được:
\(\frac{a}{b+2c}+\frac{b}{c+2a}+\frac{c}{a+2b}\ge1\))
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1 <=> x=y=z=1
Vậy minP=2<=>x=y=z=1
\(A=\frac{1}{6}\left(6-2x\right)\left(12-3y\right)\left(2x+3y\right)\)
\(A\le\frac{1}{6}\left(\frac{6-2x+12-3y+2x+3y}{3}\right)^3=36\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=2\end{matrix}\right.\)
\(A=\frac{\frac{ab}{\sqrt{2}}\sqrt{2\left(c-2\right)}+\frac{bc}{\sqrt{3}}\sqrt{3\left(a-3\right)}+\frac{ca}{2}\sqrt{4\left(b-4\right)}}{abc}\)
\(A\le\frac{\frac{abc}{2\sqrt{2}}+\frac{abc}{2\sqrt{3}}+\frac{abc}{4}}{abc}=\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{3}}+\frac{1}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=6\\b=8\\c=4\end{matrix}\right.\)