Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(N=\frac{3+a^2}{3-a}+\frac{3+b^2}{3-b}+\frac{3+c^2}{3-c}\)
Ta chứng minh \(\frac{3+a^2}{3-a}\ge2a\) với mọi \(0< a< 3\), thật vậy:
\(\Leftrightarrow3+a^2-2a\left(3-a\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow3\left(a-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Tương tự ta có: \(\frac{3+b^2}{3-b}\ge2b\); \(\frac{3+c^2}{3-c}\ge2c\)
Cộng vế với vế: \(\Leftrightarrow N\ge2\left(a+b+c\right)=6\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
vì \(n^2⋮n\)
mà \(n^2-1⋮n\)
=>\(1⋮n\)
mà n là số tự nhiên => n=1 ( đề phải là tìm n )
a/ Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy cho các số m2,n2,1 không âm ta được:
m2+1>=2m(1)
n2+1>=2n (2)
Từ (1) và (2)=> m2+n2+2>= 2m+2n vs mọi m,n (đpcm)
b/ Ta có: (a-b)2>= 0
<=> a2 +b2-2ab>=0
<=>a2+b2+2ab>=4ab (cộng 2 vế vs 2ab với a>0,b>0)
<=> (a+b)2>= 4ab
<=> a+b >= 4ab/(a+b) (chia 2 vế cho a+b với a>0.b>0)
<=> (a+b)/ab>= 4/(a+b) (3)
Mà: 1/a+1/b=(a+b)/ab (4)
Từ (3) và (4)=> 1/a+1/b>=4/(a+b)
<=> (a+b)(1/a+1/b)>=4 (đpcm)
Bài 1:
Chiều thuận:\(x^2+y^2\vdots 3\Rightarrow x\vdots 3; y\vdots 3\)
Giả sử cả \(x\not\vdots 3, y\not\vdots 3\). Ta biết rằng một số chính phương khi chia 3 thì dư $0$ hoặc $1$.
Do đó nếu \(x\not\vdots 3, y\not\vdots 3\Rightarrow x^2\equiv 1\pmod 3; y^2\equiv 1\pmod 3\)
\(\Rightarrow x^2+y^2\equiv 2\pmod 3\) (trái với giả thiết )
Suy ra ít nhất một trong 2 số $x,y$ chia hết cho $3$
Giả sử $x\vdots 3$ \(\Rightarrow x^2\vdots 3\). Mà \(x^2+y^2\vdots 3\Rightarrow y^2\vdots 3\Rightarrow y\vdots 3\)
Vậy \(x^2+y^2\vdots 3\Rightarrow x,y\vdots 3\)
Chiều đảo:
Ta thấy với \(x\vdots 3, y\vdots 3\Rightarrow x^2\vdots 3; y^2\vdots 3\Rightarrow x^2+y^2\vdots 3\) (đpcm)
Vậy ta có đpcm.
Bài 2: > chứ không \(\geq \) nhé, vì khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\) thì cả 3 BĐT đều đúng.
Phản chứng, giả sử cả 3 BĐT đều đúng
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a(1-b)> \frac{1}{4}\\ b(1-c)> \frac{1}{4}\\ c(1-a)>\frac{1}{4}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a(1-a)b(1-b)c(1-c)> \frac{1}{4^3}(*)\)
Theo BĐT AM-GM thì:
\(a(1-a)\leq \left(\frac{a+1-a}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\)
\(b(1-b)\leq \left(\frac{b+1-b}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\)
\(c(1-c)\leq \left(\frac{c+1-c}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow abc(1-a)(1-b)(1-c)\leq \frac{1}{4^3}\) (mâu thuẫn với $(*)$)
Do đó điều giả sử là sai, tức là trong 3 BĐT trên có ít nhất một BĐT đúng.
1/
n=2 ta thấy đúng
GS đúng với n=k tức là (1-x)k+(1+x)k<2k
Ta cm đúng với n=k+1
(1-x)k+1+(1+x)k+1< (1-x)k+(1+x)k+(1-x)(1+x)k+(1-x)k(1+x)= 2\(\left(\left(1-x\right)^k+\left(1+x\right)^k\right)\)\(< 2.2^k=2^{k+1}\)
=> giả sử là đúng
theo nguyên lí quy nạp ta có đpcm
ĐK phải là a,b\(\ge0\)
* \(\left(a+b\right)^2=a^2+b^2+2ab\ge a^2+b^2=1\)(Vì 2ab\(\ge0\) với a,b\(\ge0\))
Vậy \(\left(a+b\right)^2\ge1\).\(\Rightarrow a+b\ge1\)
* Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:
\(a+b\le\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}=\sqrt{2}\)
Vậy \(a+b\le\sqrt{2}\)
Vậy \(1\le a+b\le\sqrt{2}\)