Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Mình xem phép làm câu 1 ạ.
Đề là?
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}\)(1)
Chứng minh tương đương
\(\frac{a+b}{2a-b}+\frac{c+b}{2c-b}\ge4\)<=> 12ac - 9bc - 9ab + 6b2 \(\le\)0 ( quy đồng ) (2)
Từ (1) <=> 2ac = ab + bc Thay vào (2) <=> 6ab + 6bc - 9bc - 9ab + 6b2 \(\le\)0
<=> a + c \(\ge\)2b
Từ (1) => \(\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\ge\frac{4}{a+c}\)
=> a + c \(\ge\)2b đúng => BĐT ban đầu đúng
Dấu "=" xảy ra <=> a = c = b
a/CM: \(\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\ge ab\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) ( luôn đúng với mọi a,b>0)
CM: \(\frac{a^2+b^2}{2}\ge\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{2\left(a^2+b^2\right)}{4}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\) ( luôn đúng)
b/CM: \(\frac{a^3+b^3}{2}\ge\left(\frac{a+b}{2}\right)^3\)
\(\Leftrightarrow\frac{4\left(a^3+b^3\right)}{8}\ge\frac{\left(a+b\right)^3}{8}\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^3+b^3\right)\ge3a^2b+3ab^2\)
\(\Leftrightarrow a^2\left(a-b\right)+b^2\left(b-a\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\) ( luôn đúng với mọi a,b>0)
c/CM: \(a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\)
\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+b^2+ab\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+\frac{2ab}{2}+\frac{b^2}{4}+\frac{3b^2}{4}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(\left(a+\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3b^2}{4}\right)\ge0\) ( luôn đúng)
d/Ta xét hiệu: \(a^4-4a+3\)
\(=a^4-2a^2+1+2a^2-4a+2\)
\(=\left(a-1\right)^2+2\left(a-1\right)^2\ge0\)
Suy ra BĐT luôn đúng
e/Ta xét hiệu:( Làm nhanh)
\(a^3+b^3+c^3-3abc\)\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\left(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right)\ge0\)
f/Ta có: \(\frac{a^6}{b^2}-a^4+\frac{a^2b^2}{4}+\frac{b^6}{a^2}-b^4+\frac{a^2b^2}{4}\)
\(=\left(\frac{a^3}{b}-\frac{ab}{2}\right)^2+\left(\frac{b^3}{a}-\frac{ab}{2}\right)^2\ge0\)(1)
Mà \(\frac{a^2b^2}{4}+\frac{a^2b^2}{4}\ge0\)(2)
Lấy (1) trừ (2) được: \(\frac{a^6}{b^2}+\frac{b^6}{a^2}-a^4-b^4\ge0\RightarrowĐPCM\)
g/Làm rồi..xem lại trong trang cá nhân
h/Xét hiệu có: \(\left(a^5+b^5\right)\left(a+b\right)-\left(a^4+b^4\right)\left(a^2+b^2\right)\)
\(=a^5b+ab^5-a^2b^4-a^4b^2\)
\(=a^4b\left(a-b\right)-ab^4\left(a-b\right)\)
\(=ab\left(a^2-b^2\right)\left(a-b\right)\)
\(=ab\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\forall ab>0\)
Suy ra ĐPCM
Ta có:
\(a^3+b^3+c^3=3abc=>a^3+b^3+c^3-3abc=0\)
\(=>\left(a+b\right)^3-3a^2b-3ab^2+c^3-3abc=0\)
\(=>\left[\left(a+b\right)^3+c^3\right]-3a^2b-3ab^2-3abc=0\)
\(=>\left[\left(a+b\right)^3+c^3\right]-3ab\left(a+b+c\right)=0\)
\(=>\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-c\left(a+b\right)+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)=0\)
\(=>\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ca-bc+c^2-3ab\right)=0\)
\(=>\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)
Vì a3+b3+c3=3abc và a+b+c khác 0
=>\(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\)
\(=>2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)
\(=>\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)=0\)
\(=>\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
Tổng 3 số không âm = 0 <=> chúng đều = 0
\(< =>\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}< =>a=b=c}\)
Vậy \(\frac{a^2+b^2+c^2}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{3a^2}{\left(3a\right)^2}=\frac{1}{3}\)
\(\)
Ta có ; \(a^3+b^3+c^3=3abc\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2+2ab-bc-ac\right)-3ab\left(a+b+c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b+c}{2}\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]=0\)
Vì \(a+b+c\ne0\) nên ta có \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\Leftrightarrow a=b=c\)
a) Thay a = b = c vào biểu thức được : \(\frac{a^2+b^2+c^2}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{3a^2}{\left(3a\right)^2}=\frac{3a^2}{9a^2}=\frac{1}{3}\)
b) Thay a = b = c vào P : \(P=\frac{2}{a}.\frac{2}{b}\frac{2}{c}=\frac{8}{abc}\)
Lời giải:
ĐK số 1 của đề tương đương với
\(a\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)+b\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)+c\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)=-2+3=1\)
\(\Leftrightarrow (a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=1(*)\)
\(\Rightarrow (a+b+c)(ab+bc+ac)=abc\)
Lại có:
$a^3+b^3+c^3=1$
$\Leftrightarrow (a+b+c)^3-3(a+b)(b+c)(c+a)=1$
$\Leftrightarrow (a+b+c)^3-3[(a+b+c)(ab+bc+ac)-abc]=1$
$\Leftrightarrow (a+b+c)^3-3.0=1$
$\Leftrightarrow (a+b+c)^3=1\Rightarrow a+b+c=1(**)$
Từ $(*); (**)\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$ (đpcm)
\(sigma\frac{a^2+b^2}{ab\left(a+b\right)^3}\ge sigma\frac{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}{\left(a+b\right)^2\left(a^3+b^3\right)}=sigma\frac{1}{2\left(a^3+b^3\right)}\ge\frac{9}{4\left(a^3+b^3+c^3\right)}=\frac{9}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\)
dễ mà SD BDT cô-si
áp dụng BĐT cosi là ra