Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(A=\sqrt{x^2-2x+1}+\sqrt{x^2+4x+4}\)
\(=\sqrt{\left(x-1\right)^2}+\sqrt{\left(x+2\right)^2}\)
\(=|1-x|+|x+2|\ge|1-x+x+2|=3\)
\(x\sqrt{x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}}=2\)
\(\Leftrightarrow x\sqrt{\left(\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2}\right)^2}=2\)
\(\Leftrightarrow x\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2}=2\)
\(\Leftrightarrow x\sqrt{x+\frac{1}{4}}=\frac{3}{2}\)
Làm nốt
1/ \(\frac{3}{2}x^2+y^2+z^2+yz=1\Leftrightarrow3x^2+2y^2+2z^2+2yz=2\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\right)+\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2-2zx+z^2\right)=2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2+\left(x-y\right)^2+\left(x-z\right)^2=2\)
\(\Rightarrow-\sqrt{2}\le x+y+z\le\sqrt{2}\)
Suy ra MIN A = \(-\sqrt{2}\)khi \(x=y=z=-\frac{\sqrt{2}}{3}\)
Bài 2 :
b) \(\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=2\) (1)
ĐKXĐ : \(x\ge1\)
Pt(1) tương đương :
\(\sqrt{\left(x-1\right)+2\sqrt{x-1}+1}+\sqrt{\left(x-1\right)-2\sqrt{x-1}+1}=2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(\sqrt{x-1}+1\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2}=2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1}+1+\left|\sqrt{x-1}-1\right|=2\) (*)
Xét \(x\ge2\Rightarrow\sqrt{x-1}-1\ge0\)
\(\Rightarrow\left|\sqrt{x-1}-1\right|=\sqrt{x-1}-1\)
Khi đó pt (*) trở thành :
\(\sqrt{x-1}+1+\sqrt{x-1}-1=2\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{x-1}=2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1}=1\)
\(\Leftrightarrow x-1=1\)
\(\Leftrightarrow x=2\) ( Thỏa mãn )
Xét \(1\le x< 2\) thì \(x\ge2\Rightarrow\sqrt{x-1}-1< 0\)
Nên : \(\left|\sqrt{x-1}-1\right|=1-\sqrt{x-1}\). Khi đó pt (*) trở thành :
\(\sqrt{x-1}+1+1-\sqrt{x-1}=2\)
\(\Leftrightarrow2=2\) ( Luôn đúng )
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S=\left\{x|1\le x\le2\right\}\)
Bài 1 :
a) ĐKXĐ : \(-1\le a\le1\)
Ta có : \(Q=\left(\frac{3}{\sqrt{1+a}}+\sqrt{1-a}\right):\left(\frac{3}{\sqrt{1-a^2}}\right)\)
\(=\left(\frac{3+\sqrt{1-a}.\sqrt{1+a}}{\sqrt{1+a}}\right)\cdot\frac{\sqrt{1-a^2}}{3}\)
\(=\frac{3+\sqrt{\left(1-a\right)\left(1+a\right)}}{\sqrt{1+a}}\cdot\frac{\sqrt{\left(1-a\right)\left(1+a\right)}}{3}\)
\(=\frac{\left(3+\sqrt{1-a^2}\right).\sqrt{1-a}}{3}\)
Vậy \(Q=\frac{\left(3+\sqrt{1-a^2}\right).\sqrt{1-a}}{3}\) với \(-1\le a\le1\)
b) Với \(a=\frac{\sqrt{3}}{2}\) thỏa mãn ĐKXĐ \(-1\le a\le1\)nên ta có :
\(\hept{\begin{cases}1-a=1-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{4-2\sqrt{3}}{4}=\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}{2^2}\\1-a^2=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{1-a}=\sqrt{\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}{2^2}}=\left|\frac{\sqrt{3}-1}{2}\right|=\frac{\sqrt{3}-1}{2}\\\sqrt{1-a^2}=\frac{1}{2}\end{cases}}\)
Do đó : \(Q=\frac{\left(3+\frac{1}{2}\right)\cdot\frac{\sqrt{3}-1}{2}}{3}=\frac{5\sqrt{3}-5}{12}\)
a)ĐKXĐ :\(x\ge0;x\ne9\)
khai triển => \(P=\frac{x-4}{\sqrt{x}+1}\)
b) Ta có :\(x=\sqrt{14-6\sqrt{5}}=\sqrt{\left(3-\sqrt{5}\right)^2}=3-\sqrt{5}\)
Thay vào P ta có : \(P=\frac{3-\sqrt{5}-4}{\sqrt{3-\sqrt{5}}+1}=-\frac{7+\sqrt{5}}{\sqrt{3-\sqrt{5}}+1}\)
1. Xét điều kiện:
\(\hept{\begin{cases}x-1\ge0\\x-x^2\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-1\ge0\left(1\right)\\x\left(1-x\right)\ge0\left(2\right)\end{cases}}\)
(1) <=> x \(\ge\)1 > 0 thay vào (2) ta có: 1 - x \(\ge\)0 <=> x \(\le\)1
Do đó chỉ có thể xảy ra trường hợp x = 1
=> ĐK : x = 1
Với x = 1 thử vào phương trình ta có: 0 - 0 + 2 = 2 ( thỏa mãn)
Vậy x = 1 là nghiệm của phương trình.
bài 2: ĐK:\(0\le x\le1\)
+) Với điều kiện: A,B không âm
\(\left(A+B\right)^2\ge A^2+B^2\)(1)
<=> \(A^2+B^2+2AB\ge A^2+B^2\)
<=> \(2AB\ge0\)luôn đúng
Dấu "=" xảy ra <=> A = 0 hoặc B = 0
Áp dụng với \(\left(\sqrt{1-x}+\sqrt{x}\right)^2\ge1-x+x=1\)
=> \(\sqrt{1-x}+\sqrt{x}\ge1\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = 0 hoặc x = 1
+) Với điều kiện C, D không âm
\(\left(C+D\right)^2\ge C^2-D^2\)(2)
Thật vậy: (2)<=> \(2CD+D^2\ge-D^2\)
<=> \(D\left(C+D\right)\ge0\)luôn đúng
Dấu "=" xayra <=> D = 0 hoặc C + D = 0
Áp dụng" \(\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{x}\right)^2\ge1+x-x=1\)
=> \(\sqrt{1+x}+\sqrt{x}\ge1\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = 0
Vậy khi đó:
\(P=\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}+\sqrt{4x}\)
\(=\left(\sqrt{1-x}+\sqrt{x}\right)+\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{x}\right)\)
\(\ge1+1=2\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = 0