Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng bđt \(\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}+\frac{z^2}{p}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{m+n+p}\) ta có
\(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}=\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ac}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ac}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2+b^2+c^2}=a^2+b^2+c^2\)
Bài 1. Đặt \(a=\sqrt{x+3},b=\sqrt{x+7}\)
\(\Rightarrow a.b+6=3a+2b\) và \(b^2-a^2=4\)
Từ đó tính được a và b
Bài 2. \(\frac{2x-1}{x^2}+\frac{y-1}{y^2}+\frac{6z-9}{z^2}=\frac{9}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y}-\frac{1}{y^2}+\frac{6}{z}-\frac{9}{z^2}-\frac{9}{4}=0\)
Đặt \(a=\frac{1}{x},b=\frac{1}{y},c=\frac{1}{z}\)
Ta có \(2a-a^2+b-b^2+6c-9c^2-\frac{9}{4}=0\)
\(\Leftrightarrow-\left(a^2-2a+1\right)-\left(b^2-b+\frac{1}{4}\right)-\left(9c^2-6c+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow-\left(a-1\right)^2-\left(b-\frac{1}{2}\right)^2-\left(3c-1\right)^2=0\)
Áp dụng tính chất bất đẳng thức suy ra a = 1 , b = 1/2 , c = 1/3
Rồi từ đó tìm được x,y,z
ĐKXĐ: \(x>0;x\ne1\)
\(A=\left(\frac{\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}-\frac{\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}\right)\frac{\left(x-1\right)^2}{2}\)
\(=\left(\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)-\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)^2}\right)\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2\left(\sqrt{x}+1\right)^2}{2}\)
\(=\frac{-2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)^2}.\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2\left(\sqrt{x}+1\right)^2}{2}=-\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)=\sqrt{x}\left(1-\sqrt{x}\right)\)
Khi \(0< x< 1\Rightarrow0< \sqrt{x}< 1\Rightarrow0< 1-\sqrt{x}< 1\)
\(\Rightarrow\sqrt{x}\left(1-\sqrt{x}\right)>0\)
\(A=\sqrt{x}-x=-\left(x-\sqrt{x}+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{4}=-\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\le\frac{1}{4}\)
\(A_{max}=\frac{1}{4}\) khi \(\sqrt{x}=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{1}{4}\)
2:
a: Sửa đề: \(\dfrac{a^2+3}{\sqrt{a^2+2}}>2\)
\(A=\dfrac{a^2+3}{\sqrt{a^2+2}}=\dfrac{a^2+2+1}{\sqrt{a^2+2}}=\sqrt{a^2+2}+\dfrac{1}{\sqrt{a^2+2}}\)
=>\(A>=2\cdot\sqrt{\sqrt{a^2+2}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{a^2+2}}}=2\)
A=2 thì a^2+2=1
=>a^2=-1(loại)
=>A>2 với mọi a
b: \(\Leftrightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}< =\dfrac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\sqrt{ab}}\)
=>\(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}>=a\sqrt{b}+b\sqrt{a}\)
=>\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(a-\sqrt{ab}+b\right)-\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)>=0\)
=>(căn a+căn b)(a-2*căn ab+b)>=0
=>(căn a+căn b)(căn a-căn b)^2>=0(luôn đúng)
1
ĐK: `x>1`
PT trở thành:
\(\sqrt{\dfrac{2x-3}{x-1}}=2\\ \Leftrightarrow\dfrac{2x-3}{x-1}=2^2=4\\ \Leftrightarrow4x-4-2x+3=0\\ \Leftrightarrow2x-1=0\\ \Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\left(KTM\right)\)
Vậy PT vô nghiệm.
b
ĐK: \(x\ge2\)
Đặt \(t=\sqrt{x-2}\) (\(t\ge0\))
=> \(x=t^2+2\)
PT trở thành: \(t^2+2-5t+2=0\)
\(\Leftrightarrow t^2-5t+4=0\)
nhẩm nghiệm: `a+b+c=0` (`1+(-5)+4=0`)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}t=1\left(nhận\right)\\t=4\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-2}=1\\\sqrt{x-2}=4\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\left(TM\right)\\x=18\left(TM\right)\end{matrix}\right.\)