Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) y = f(x) = x3 – 3mx2 + 3(2m-1)x + 1
Tập xác định: D = R
y’= 3x2 -6mx + 3(2m-1) = 3(x2 – 2mx + 2m – 1)
Hàm số đồng biến trên D = R ⇔ y’ ≥ 0, ∀x ∈ R
⇔ x2 – 2mx + 2m - 1≥0, ∀x ∈ R
⇔ Δ’ = m2 – 2m + 1 = (m-1)2 ≤ 0 ⇔ m =1
b) Hàm số có một cực đại và một cực tiểu
⇔ phương trình y’= 0 có hai nghiệm phân biệt
⇔ (m-1)2 > 0 ⇔ m≠1
c) f’’(x) = 6x – 6m > 6x
⇔ -6m > 0 ⇔ m < 0
Tìm tất cả các hàm số f: R -> R thoả mãn điều kiện: f((x - y)2) = x2 - 2yf(x) + ((f(y)2); ∀x, y ∈ R.
Gọi P(x,y) là phép thế của phương trình hàm đề bài.
P(x,x) cho ta: f(0)=x2-2xf(x)+f2(x). (Ở đây, f2(x) là f(x)f(x) chứ không phải là f(f(x))).
Đến đây cho x=0 ta suy ra: f(0)=f2(0). Ta được f(0)=0 hoặc f(0)=1.
Trường hợp 1: f(0)=0 suy ra: f2(x)-2xf(x)+x2=0 với mọi x thực. Suy ra: (f(x)-x)2=0 với mọi x nên f(x)=x với mọi x.
Thử lại thấy thỏa mãn.
Trường hợp 2: f(0)=1 tương tự trường hợp 1, ta suy ra với mọi x thì f(x)=x-1 hoặc f(x)=x+1.
P(x,0) suy ra: f(x2)=x2+1. Do đó với mọi x không âm thì f(x)=x+1.
P(0,y) suy ra: f(y2)=f2(y)-2y suy ra: (y+1)2=f2(y) với mọi y thực.
Nếu tồn tại a thực khác 0 sao cho: f(a)=a-1. Thay y=a ta được: (a+1)2=f2(a)=(a-1)2 suy ra:
a2+2a+1=a2-2a+1 suy ra: a=0(vô lí). Do đó: f(x)=x+1 với mọi x thực.
Thử lại không thỏa mãn. Vậy f(x)=x với mọi x.