Question

[Lý Ngọc]

1. Cho đường tròn (O) có bán kính R và điểm C nằm ngoài đường tròn. Đường thẳng CO cắt đường tròn tại hai điểm A và B ( A nằm giữa C và O). Kẻ tiếp tuyến CM đến đường tròn ( M là tiếp điểm). Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A cắt CM tại E và tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B cắt CM tại F.
a./ Chứng minh tứ giác AOME nội tiếp đường tròn.
b./ Chứng minh và CE.MF=CF.ME
c./ Tìm điểm N trên đường tròn (O) (N khác M) sao cho tam giác NEF có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó theo R, biết góc AOE =30 độ

2. Hai đơn vị bộ đội cùng một lúc đi từ hai địa điểm A và B để gặp nhau. Đơn vị đi từ A mỗi giờ đi được 4km. Đơn vị đi từ B mỗi giờ đi được 5km. Một người liên lạc đi xe đạp với vận tốc 12km/h lên đường cùng một lúc với các đơn vị bộ đội, bắt đầu từ A để gặp đơn vị đi từ B. Khi gặp đơn vị này rồi, người liên lạc lặp tức quay về gặp đơn vị đi từ A và khi gặp đơn vị này rồi lặp tức quay về để gặp đơn vị đi từ B và cứ như thế đến khi hai đơn vị gặp nhau. Biết rằng AB dài 27km. Tính quãng đường liên lạc đã đi.

3. Cho nửa đường tròn tâm O và đường kính AB. Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng OA, điểm N thuộc nửa đường tròn (O). Từ A và B vè các tiếp tuyến ax và by. Đường thẳng qua N và vuông góc với NM cắt Ax, By thứ tự tại C và D.
a) Chứng minh ACNM và BDNM là các tứ giác nội tiếp đường tròn
b) Chứng minh tam giác ANB đồng dạng với tam giác CMD
c) Gọi I là giao điểm của An và CM. K là giao điểm của BN và DM. Chứng minh IK // AB 

4. Quãng đường AB dài 120km. Một ô tô khởi hành từ A đi đến B và một mô tô khởi hành từ B đi đến A cùng lúc. Sau khi gặp nhau tại điểm C, ô tô chạy thêm 20 phút nữa thì đến B, còn mô tô chạy thêm 3 giờ nữa thì đến A. Tìm vận tốc của ô tô và vận tốc của mô tô