Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1. Theo Cô si:
\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge2\sqrt{\frac{1}{a^2b^2}}=2\cdot\frac{1}{ab}=\frac{2}{ab}\)
Dấu "=" khi a = b
2.
\(gt\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=6\)
\(\left(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\right)\rightarrow\left(x,y,z\right)\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}P=x^2+y^2+z^2\\x+y+z+xy+yz+zx=6\end{matrix}\right.\)
Theo Cô si ta có:
\(x^2+1\ge2\sqrt{x^2}=2x\)
Tương tự ta được: \(\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge2\left(x+y+z\right)\)(1)
Lại có: \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
\(\Rightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)(2)
Cộng (1), (2) theo vế ta được:
\(3P+3\ge2\left(x+y+z+xy+yz+zx\right)=12\)
\(\Rightarrow3P\ge9\Leftrightarrow P\ge3\)
Dấu "=" khi x = y = z = 1 hay a = b = c = 1
ta có xy+yz+zx=0=> \(\frac{xy+yz+zx}{xyz}=0\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)
đặt \(\frac{1}{x}=a,\frac{1}{y}=b,\frac{1}{z}=c\Rightarrow a+b+c=0\)
ta xét \(a^3+b^3+c^3-3abc=a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)+c^3-3ab-3abc\)
\(=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b+c\right)=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)=0\)
=> \(a^3+b^3+c^3=3abc\) \(\Rightarrow\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}=\frac{3}{xyz}\)
=> \(M=\frac{yz}{x^2}+\frac{zx}{y^2}+\frac{xy}{z^2}=\frac{xyz}{x^3}+\frac{xyz}{y^3}+\frac{xyz}{z^3}=xyz\left(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}\right)=xyz.\frac{3}{xyz}=3\)
=> M=3
Cho a, b, c mà bắt chứng minh x, y, z nên ko chứng minh đc là đúng òi:)
\(VT-VP=\Sigma_{cyc}\frac{\left(x-y\right)^4}{4xy\left(x^2+y^2\right)}\ge0\)
\(3-P=1-\frac{x}{x+1}+1-\frac{y}{y+1}+1-\frac{z}{z+1}\)
\(=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\ge\frac{9}{x+y+z+3}=\frac{9}{1+3}=\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow P\le\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra tại \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
1,theo giả thiết => \(x^2+y^2+z^2=x+y+z\)
mà \(3\left(x^2+y^2+z^2\right)>=\left(x+y+z\right)^2\)(bunhiacopxki)
=>\(x+y+z=< 3\)
ta có:\(\frac{1}{x+2}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+2}>=\frac{9}{x+y+z+6}=1\)(cauchy schwarz)
\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{2}{ab}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}-\frac{2}{ab}+\frac{1}{b^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow Q.E.D\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b
\(gt\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=6\)
Đặt \(\frac{1}{x}=a,\frac{1}{y}=b,\frac{1}{z}=c\)thì \(P=a^2+b^2+c^2\)và \(a+b+c+ab+bc+ca=6\)
Giải:
Ta có: \(x^2+1\ge2\sqrt{x^2\cdot1}=2x\)
Tương tự rồi cộng theo vế ta được: \(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)(1)
Lại có: \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)(2)
Cộng (1), (2) theo vế ta được:
\(3P+3\ge2\left(x+y+z+xy+yz+zx\right)=2\cdot6=12\)
\(\Rightarrow3P\ge9\Leftrightarrow P\ge3\)
MinP = 3 khi a = b = c = 1 hay x = y = z = 1