Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(xy+\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}=2019\)
\(\Leftrightarrow x^2y^2+\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)+2xy\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}=2019^2\)
\(\Leftrightarrow M=2xy\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}=2019^2-2x^2y^2-x^2-y^2-1\)(Đặt M = .... cho gọn)
Có \(S=x\sqrt{1+y^2}+y\sqrt{1+x^2}\)
\(\Rightarrow S^2=x^2\left(1+y^2\right)+y^2\left(1+x^2\right)+M\)
\(\Rightarrow S^2=2x^2y^2+x^2+y^2+2019^2-2x^2y^2-x^2-y^2-1\)
\(\Rightarrow S=\sqrt{2019^2-1}\)
Nhân liên hợp là ra -.-
a, Có: \(\left(\sqrt{a^2+2019}+a\right)\left(\sqrt{a^2+2019}-a\right)=a^2+2019-a^2=2019\)
Mà \(\left(\sqrt{a^2+2019}+a\right)\left(\sqrt{b^2+2019}+b\right)=2019\)
\(\Rightarrow\sqrt{a^2+2019}-a=\sqrt{b^2+2019}+b\)(1)
b,Tương tự câu a sẽ c/m được \(\sqrt{a^2+2019}+a=\sqrt{b^2+2019}-b\)(2)
Lấy (1) trừ (2) theo từng vế được
\(\sqrt{a^2+2019}-a-\sqrt{a^2+2019}-a=\sqrt{b^2+2019}+b-\sqrt{b^2+2019}+b\) \(\Leftrightarrow-2a=2b\)
\(\Leftrightarrow-a=b\)
\(\Rightarrow-a^{2019}=b^{2019}\)
Ta có: \(P=a^{2019}+b^{2019}+2019\)
\(=a^{2019}-a^{2019}+2019\)
\(=2019\)
a)Theo giả thiết thì \(VT=\frac{\left(\sqrt{a^2+2019}+a\right)\left(\sqrt{a^2+2019}-a\right)}{\sqrt{a^2+2019}-a}.\frac{\left(\sqrt{b^2+2019}+b\right)\left(\sqrt{b^2+2019}-b\right)}{\sqrt{b^2+2019}-b}=2019\)
\(\Leftrightarrow\frac{2019}{\sqrt{a^2+2019}-a}.\frac{2019}{\sqrt{b^2+2019}-b}=2019\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{a^2+2019}-a}.\frac{1}{\sqrt{b^2+2019}-b}=1\) (chia hai vế cho 2019)
Suy ra \(\sqrt{a^2+2019}-a=\sqrt{b^2+2019}-b\)?!? (lạ nhỉ,hay là tui làm sai gì đó chăng?)
Có \(y^2+2019=y^2+xy+yz+zx=y\left(x+y\right)+z\left(x+y\right)=\left(y+z\right)\left(x+y\right)\)
\(x^2+2019=x^2+xy+yz+zx=x\left(x+y\right)+z\left(x+y\right)=\left(x+z\right)\left(x+y\right)\)
\(z^2+2019=z^2+xy+yz+xz=z\left(z+y\right)+x\left(y+z\right)=\left(z+x\right)\left(y+z\right)\)
Có \(P=x\sqrt{\frac{\left(y^2+2019\right)\left(z^2+2019\right)}{x^2+2019}}+y\sqrt{\frac{\left(z^2+2019\right)\left(x^2+2019\right)}{y^2+2019}}+z\sqrt{\frac{\left(x^2+2019\right)\left(y^2+2019\right)}{z^2+2019}}\)
=\(x\sqrt{\frac{\left(y+z\right)\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(z+y\right)}{\left(x+z\right)\left(y+x\right)}}+y\sqrt{\frac{\left(z+x\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\left(x+y\right)}{\left(y+z\right)\left(x+y\right)}}+z\sqrt{\frac{\left(x+z\right)\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+y\right)}{\left(z+x\right)\left(y+z\right)}}\)
=\(x\sqrt{\left(y+z\right)^2}+y\sqrt{\left(x+z\right)^2}+z\sqrt{\left(x+y\right)^2}\)
=\(x\left|y+z\right|+y\left|x+z\right|+z\left|x+y\right|\)
=\(x\left(y+z\right)+y\left(x+z\right)+z\left(x+y\right)\) (vì x,y,z >0)
= xy+xz+xy+yz+xz+yz
=2(xy+xz+yz)=2.2019(vì xy+xz+yz=2019)
=4038
Vậy P=4038
Ta xét \(\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(x-\sqrt{x^2+1}\right)=x^2-\left(x^2+1\right)=-1.\)
Mà \(\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=1\)
\(\Rightarrow x-\sqrt{x^2+1}=-\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)\)
\(\Leftrightarrow x+y=\sqrt{x^2+1}-\sqrt{y^2+1}.\)(1)
Xét \(\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)\left(y-\sqrt{y^2+1}\right)=y^2-\left(y^2+1\right)=-1\)
Mà \(\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=1\)
\(\Rightarrow y-\sqrt{y^2+1}=-\left(x+\sqrt{x^2+1}\right).\)
\(\Leftrightarrow x+y=\sqrt{y^2+1}-\sqrt{x^2+1}\)(2)
Cộng 2 vế của (1) và (2) Ta được
\(2\left(x+y\right)=0\Leftrightarrow x=-y\)Thế vào A
\(A=x^{2019}+y^{2019}=\left(-y\right)^{2019}+y^{2019}=0\)
\(\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}=y+\sqrt{y^2+1}\\\frac{1}{y+\sqrt{y^2+1}}=x+\sqrt{x^2+1}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}-x+\sqrt{x^2+1}=y+\sqrt{y^2+1}\left(1\right)\\-y+\sqrt{y^2+1}=x+\sqrt{x^2+1}\left(2\right)\end{cases}}\)
Cộng vế với vế của (1) và (2) ta có:
\(-2x-2y=0\Leftrightarrow-2\left(x+y\right)=0\Leftrightarrow x+y=0\)
\(\Rightarrow P=x^{2019}+y^{2019}=0\)
#)Giải :
\(\left(x+\sqrt{x^2+2019}\right)\left(x+\sqrt{y^2+2019}\right)=2019\)
\(\Leftrightarrow x^2+2019-x^2=2019\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+2019}-x=\sqrt{y^2+2019}+y\)
\(\Leftrightarrow x+y=\sqrt{x^2+2019}-\sqrt{y^2+2019}\left(1\right)\)
\(\left(\sqrt{x^2+2019}+y\right)\left(\sqrt{y^2+2019}-y\right)=2019\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{y^2+2019}-y=\sqrt{x^2+2019}+x\)
\(\Leftrightarrow x+y=\sqrt{y^2+2019}-\sqrt{x^2+2019}\left(2\right)\)
Cộng hai vế (1) và (2) với nhau. ta được :
\(2\left(x+y\right)=0\Leftrightarrow x+y=0\)
|*Đúng k nhỉ ???*|
tớ cảm ơn nhưng đề bài của 2 câu khác nhau ạ