Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
cmr tồn tại duy nhất bộ nghiệm số nguyên dương (a,n) sao cho
\(a^{n+1}\)-\(\left(a=1\right)^n\)=2001
\(a^{n+1}-\left(a=1\right)^n=2001\left(n\in N\right)\)
\(\Rightarrow a^{n-1}-1^n=2001\)
\(\Rightarrow a^{n-1}-1=2001\)
\(\Rightarrow a^{n-1}=2001+1\)
\(\Rightarrow a^{n-1}=2002\)
Mk chỉ biết giải TH:n dương và chỉ giải đc thế thôi
Chúc bn học tốt
dùng thủ thuật giống một bài toán lớp 3
Cho m=n=0 ta được \(f\left(0\right)=2f^2\left(0\right)\Rightarrow f\left(0\right)=0\)
Cho m=1; n=0 ta được \(\orbr{\begin{cases}f\left(1\right)=0\\f\left(1\right)=1\end{cases}}\). Ta xét trường hợp f(1)=1, với f(1)=0 ta xét tương tự, với f(1)=1 ta lần lượt tính được
\(\hept{\begin{cases}f\left(2\right)=f\left(1^2+1^2\right)=f^2\left(1\right)+f^2\left(1\right)=2\\f\left(4\right)=f\left(2^2+0^2\right)=f^2\left(2\right)+f^2\left(0\right)=4\\f\left(5\right)=f\left(2^2+1^2\right)=f^2\left(2\right)+f^2\left(1\right)=5\end{cases}}\)
áp dụng thủ thuật của một bài toán lớp 3. Ta không tính trực tiếp f(3) nhưng ta lại có \(f^2\left(5\right)=f\left(25\right)=f\left(3^2+4^2\right)=f^2\left(4\right)+f^2\left(3\right)\)từ đó ta tính được f(3)=3
Tương tự như vậy ta có thể tính được f(6) nhờ vào đẳng thức 62+82=102 trong đó \(f\left(8\right)=f\left(2^2+2^2\right)=2f^2\left(2\right)=8;f\left(10\right)=f\left(3^2+1^2\right)=f^2\left(3\right)+f^2\left(1\right)=10\)
Tiếp tục để tính f(7) ta để ý 72+12=50 =52+52, từ đó f(7)=7. Cũng như thế do đó 112+22=102+52 nên suy ra f(11)=11
Cách làm này có thể tổng quát hóa như thế nào? Ý tưởng là \(m^2+n^2=p^2+q^2\left(1\right)\)thì \(f^2\left(m\right)+f^2\left(n\right)=f^2\left(q\right)+f^2\left(p\right)\)do đó nếu tính được \(f\left(n\right);f\left(q\right);f\left(p\right)\)thì f(m) cũng sẽ tính được
Làm thế nào để có những đẳng thức dạng (1) dưới dạng tổng quát, cho phép ta chứng minh f(n)=n với mọi n bằng quy nạp? Chú ý rằng (1) có thể viết lại thành (m-p)(m+p)=(q-n)(q+n)=N. Do đó nếu chọn 2 số N có 2 cách phân tích thành tích của những số cùng tính chẵn hoặc lẻ, ta sẽ tìm được nghiệm cho (1). Chọn N=8k=4k.2=4.2k và N=16k=4k.4=2k.8 ta được hệ
\(\hept{\begin{cases}m-p=2;m+p=4k;q-n=4;q+n=2k\\m-p=4;m+p=4k;q-n=8;q+n=2k\end{cases}}\)
Từ đó được các hằng đẳng thức tương ứng
\(\hept{\begin{cases}\left(2k+1\right)^2+\left(k-2\right)^2=\left(2k-1\right)^2+\left(k+2\right)^2\\\left(2k+2\right)^2+\left(k-4\right)^2=\left(2k-2\right)^2+\left(k+4\right)^2\end{cases}}\)
Từ hai đẳng thức này với chú ý f(n)=n với n=1;2;3;4;5;6 ta dễ dàng chứng minh quy nạp được rằng f(n)=n với mọi n thuộc N
Trường hợp f(1)=0 cũng bằng cách lý luận trên ta nêu ra f(n)=0 với mọi n thuộc N
để\(\frac{19}{n-1}\)là số nguyên suy ra 19 chia hết cho n-1 suy ra n-1 thuộc ước của 19
suy ra n-1=\(\left\{1;19\right\}\)suy ra n=\(\left\{2;20\right\}\)
vậy n=\(\left\{2;20\right\}\)
Bài 1:
Chứng minh \(4mn(m^2-n^2)\vdots 8\)
+ Nếu \(m,n\) khác tính chẵn lẻ thì suy ra tồn tại một số chẵn và một số lẻ, do đó \(mn\vdots 2\Rightarrow 4mn(m^2-n^2)\vdots 8\)
+ Nếu \(m,n\) cùng tính chẵn lẻ thì \(m^2-n^2\vdots 2\Rightarrow 4mn(m^2-n^2)\vdots 8\)
Như vậy, \(4mn(m^2-n^2)\vdots 8\) \((1)\)
Chứng minh \(4mn(m^2-n^2)\vdots 3\)
+ Nếu tồn tại một trong hai số $m,n$ chia hết cho $3$ thì \(4mn(m^2-n^2)\vdots 3\)
+ Nếu cả hai số $m,n$ đều không chia hết cho $3$
Ta biết rằng một số chính phương chia 3 thì chỉ có thể có dư là $0$ hoặc $1$. Mà \(m,n\not\vdots 3\Rightarrow m^2\equiv n^2\equiv 1\pmod 3\Rightarrow m^2-n^2\vdots 3\)
\(\Rightarrow 4mn(m^2-n^2)\vdots 3\)
Như vậy, \(4mn(m^2-n^2)\vdots 3(2)\)
Từ \((1),(2)\) và $3,8$ nguyên tố cùng nhau nên \(4mn(m^2-n^2)\vdots 24\)
Ta có đpcm.
Bạn ơi, nếu như vậy thì thầy mình sẽ bắt mình chứng minh là chỉ có 2 số 3 với 5 là 2 số có dạng \(2^n-1\) với \(2^n+1\) đó bạn. Nếu bạn không phiền thì chứng minh giúp mình với nhé. Mình cảm ơn bạn trước.