Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) = 5( x2 - 9y2 - 6y - 1 ) = 5[ x2 - ( 9y2 + 6y + 1 ) ] = 5[ x2 - ( 3y + 1 )2 ] = 5( x - 3y - 1 )( x + 3y + 1 )
b) = 125x3 - 25x2 + 15x2 - 3x + 5x - 1 = 25x2( 5x - 1 ) + 3x( 5x - 1 ) + ( 5x - 1 ) = ( 5x - 1 )( 25x2 + 3x + 1 )
c) = 5( x - 7 ) + a( x - 7 ) = ( x - 7 )( a + 5 )
d) = ( a - b )2 + ( a - b ) = ( a - b )( a - b + 1 )
e) = ax2 + a - a2x - x = ax( a - x ) + ( a - x ) = ( a - x )( ax + 1 )
f) = ( 10x )2 - ( x2 + 25 )2 = ( 10x - x2 - 25 )( 10x + x2 + 25 ) = -( x - 5 )2( x + 5 )2
Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz, BĐT AM - GM và BĐT \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\), ta có:
\(\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{b^3\left(a+c\right)}+\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}\)
\(\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a^3\left(b+c\right)+b^3\left(a+c\right)+c^3\left(a+b\right)}\)
\(\ge\dfrac{3^2}{3\sqrt[3]{a^3b^3c^3\left(b+c\right)\left(a+c\right)\left(a+b\right)}}\)
\(\ge\dfrac{3^2}{3\sqrt[3]{8abc}}=\dfrac{3}{2}\left(abc=1\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1
Với mọi \(a,b,c\in R\) và \(x,y,z>0\) . ta có:
\(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\) (1)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{z}\)
Thật vậy, với \(a,b\in R\) và \(x,y>0\) ta có
\(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\) (2)
\(\Leftrightarrow\left(a^2y+b^2x\right)\left(x+y\right)\ge xy\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(bx-ay\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}\)
Áp dụng BĐT (2) ta có
\(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{x+y}+\dfrac{c^2}{z}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)Dấu "=" xảy ra\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{z}\)
Ta có:
\(\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{b^3\left(a+c\right)}+\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}=\dfrac{\dfrac{1}{a^2}}{ab+ac}+\dfrac{\dfrac{1}{b^2}}{bc+ab}+\dfrac{\dfrac{1}{c^2}}{ca+cb}\)Áp dụng BĐT (1) ta có:
\(\dfrac{\dfrac{1}{a^2}}{ab+ac}+\dfrac{\dfrac{1}{b^2}}{ab+bc}+\dfrac{\dfrac{1}{c^2}}{ac+bc}\ge\dfrac{\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2}{2\left(ab+bc+ac\right)}=\dfrac{\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2}{2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)}\)(vì abc=1)
Hay \(\dfrac{\dfrac{1}{a^2}}{ab+bc}+\dfrac{\dfrac{1}{b^2}}{ab+bc}+\dfrac{\dfrac{1}{c^2}}{ac+bc}\ge\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)Mà \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge3\) nên \(\dfrac{\dfrac{1}{a^2}}{ab+ac}+\dfrac{\dfrac{1}{b^2}}{ab+bc}+\dfrac{\dfrac{1}{c^2}}{ac+bc}\ge\dfrac{3}{2}\Rightarrowđpcm\)
Từ M kẻ MK // BD (K thuộc DC)
a, Xét t/g DBC có: MK // BD, MB = MC (gt)
=> MK là đường trung bình của t/g DBC
=> CK = DK (1)
Xét t/g AMK có: MK // ID, IA = IM (gt)
=> ID là đường trung bình của t/g AMK
=> DA = DK (2)
Từ (1) và (2) => CK = DA
Mà CK = DC2DC2
=>DA=DC2(đpcm)DA=DC2(đpcm)
b, Vì MK là đường trung bình của t/g DBC
=> MK=BD2(3)MK=BD2(3)
Vì ID là đường trung bình của t/g AMK
=>ID=MK2(4)ID=MK2(4)
Từ (3) và (4) => BD > ID
a, Xét t/g DBC có: MK // BD, MB = MC (gt)
=> MK là đường trung bình của t/g DBC
=> CK = DK (1)
Xét t/g AMK có: MK // ID, IA = IM (gt)
=> ID là đường trung bình của t/g AMK
=> DA = DK (2)
Từ (1) và (2) => CK = DA
Mà CK = DC/2
=>DA=DC/2(đpcm)
b, Vì MK là đường trung bình của t/g DBC
=> MK=BD/2(3)
Vì ID là đường trung bình của t/g AMK
=>ID=MK/2(4)
Từ (3) và (4) => BD > ID
a) Xét \(\Delta\)ABC có: BF là trung tuyến;CF là trung tuyến
=> F trung điểm AB;E trung điểm AC
Do đó => EF là đường trung bình của \(\Delta\)ABC
=> EF=1/2BC;EF//BC (1)
Lại có: M trung điểm BG;N trung điểm CG (gt)
=> MN là đường trung bình của \(\Delta\)GBC
=> MN=1/2BC;MN//BC (2)
Từ (1) và (2) => FE=MN;FE//MN
=>MNEF là hbh ( 2 cạnh đối // và = nhau)
b) Ta có MNEF là hbh
Để MNEF là hcn thì ME_|_ EF
Mặt khác: ME_|_ EF
EF//BC ( EF đường tb)=>FG//BC
(ME là đường tb vì M trung điểm BG;BE trung tuyến)=>ME//AF=>MG//AG
Nên: AF_|_BC
=> ^B=^C=90 độ
=> ABC cân thì MNEF là hcn
Để MNEF là hình thoi thì EF=FM
Vì EF là đường tb của t/gABC => EF=1/2BC
MF là đường tb của t/gBFE=>MF=1/2FE
=> G là trọng tâm của t/gABC
=> AG=2/3BC
Nếu có điểm = AG thì đánh ở giữa BC ( o chắc )
=> MNEF là hcn thì AG=2/3BC
TL:
a,G là trọng tâm của tam giác ABC nên GD =1/2 BG suy ra GM= GD
Tương tự EG=GN suy ra MNDE là hình bình hành
a) Trong tam giác ABC , có :
EA = EB ( CE là trung tuyến )
DA = DC ( DB là trung tuyến )
=> ED là đường trung bình của tam giác ABC
=> ED // BC (1) , DE = 1/2 BC (2)
Trong tam giác GBC , có :
MG = MB ( gt)
NG = NC ( gt)
=> MN là đương trung bình của tam giác GBC
=> MN // BC (3) , MN = 1/2 BC (4)
Từ 1 và 2 => ED // MN ( * )
Từ 3 và 4 => ED = MN ( **)
Từ * và ** => EDMN là hbh ( DHNB )