Question

[DUTREND123456789]

Cho (O;R) đường kính AB và (I;r) đường kính AC tiếp xúc ngoài tại A (R > r)  . Trung trực của BC cắt (O) tại D và E , cắt BC tại K . Gọi giao điểm của (I) với CD và CE lần lượt M và N.Chứng minh:

a) Tứ giác BDCE là hình thoi 

b) Bốn điểm D,M,N,E cùng thuộc 1 đường tròn

c) KM và KN là tiếp tuyến của (I;r)

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Ta có: ΔODE cân tại O

mà OK là đường cao

nên K là trung điểm của DE

Xét tứ giác CDBE có

K là trung điểm chung của CB và DE

=>CDBE là hình bình hành

Hình bình hành CDBE có CB\(\perp\)DE

nên CDBE là hình thoi

b: Xét (O) có

ΔADB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó;ΔADB vuông tại D

=>AD\(\perp\)DB

Xét (O) có

ΔAEB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAEB vuông tại E

=>AE\(\perp\)EB

Xét (I) có

ΔCMA nội tiếp

CA là đường kính

Do đó: ΔCMA vuông tại M

Xét (I) có

ΔCNA nội tiếp

AC là đường kính

Do đó: ΔCNA vuông tại N

Ta có: AM\(\perp\)DC

DC//EB

Do đó: AM\(\perp\)EB

Ta có: AM\(\perp\)EB

AE\(\perp\)EB

AM,AE có điểm chung là A

Do đó: M,A,E thẳng hàng

Ta có: AD\(\perp\)DB

AN\(\perp\)CE

DB//CE

AD,AN có điểm chung là A

Do đó: D,A,N thẳng hàng

Xét ΔCME vuông tại M và ΔCND vuông tại N có

\(\widehat{MCE}\) chung

Do đó: ΔCME đồng dạng với ΔCND

=>\(\dfrac{CM}{CN}=\dfrac{CE}{CD}\)

=>\(\dfrac{CM}{CE}=\dfrac{CN}{CD}\)

Xét ΔCMN và ΔCED có

\(\dfrac{CM}{CE}=\dfrac{CN}{CD}\)

\(\widehat{MCN}\) chung

Do đó: ΔCMN đồng dạng với ΔCED

=>\(\widehat{CMN}=\widehat{CED}\)

mà \(\widehat{CMN}+\widehat{DMN}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{DMN}+\widehat{CED}=180^0\)

=>DMNE là tứ giác nội tiếp

=>D,M,N,E cùng thuộc một đường tròn