Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: MA = MN (tính chất đối xứng tâm)
ME = MF (tính chất đối xứng tâm)
Tứ giác AENF có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình bình hành
Suy ra: AF // NE
Mà NE ⊥ AB (chứng minh trên)
Suy ra: AF ⊥ AB tại A
Vậy FA là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Trong tam giác ABN ta có: AN ⊥ BM và AM = MN
Suy ra tam giác ABN cân tại B
Suy ra BA = BN hay N thuộc đường tròn (B; BA)
Tứ giác AFNE là hình bình hành nên AE // FN hay FN // AC
Mặt khác: AC ⊥ BN (chứng minh trên)
Suy ra: FN ⊥ BN tại N
Vậy FN là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA)
Em vừa giải ra, nhưng hy vọng tìm được cách đơn giản hơn.
Cách của em:
a+ b)
Dễ có AN là đường trung trực FE nên AF = FE.
^FAE=180o - 2. ^AEF = 180o - 2. ^CEB = 2. ^EBC
Dễ có BM là đường trung trực AN nên BN = BA.
Do đó tam giác NBA cân tại B.
Vậy BM là đường trung trực đồng thời là phân giác.
Vậy ^EBC = ^ABE suy ra ^FAE = 2. ^EBC = ^EBC +^ABE = ^CBA.
Ta có: ^FAB = ^FAE+^CAB=^CBA +^CAB = 90o
Vậy FA là tiếp tuyến (O) (1)
Mặt khác tứ giác FNEA có FM = ME; MN = MA nên là hình bình hành.
Vậy FA // NE (2)
Từ (1) và (2) suy ra NE vuông góc với AB.
c) BM là đường trung trực AN nên BF là đường trung trực AN
Có ngay FN = FA \(\Rightarrow\widehat{FNA}=\widehat{FAN}\)
Dễ chứng minh $\Delta MBN = \Delta MBA$ nên $\widehat{ANB}=\widehat{NAB}$
$\widehat{FNB}=\widehat{FAN}+\widehat{NAB}=\widehat{FAB}=90^o$
d) $BF^2-FN^2 =BN^2 = BM \cdot BF$
Em nghĩ quá phức tạp :D
\(\widehat{AMB}\) và \(\widehat{ACB}\) đều là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên AC và BM là 2 đường cao của tam giác ABN
\(\Rightarrow\) E là trực tâm \(\Rightarrow NE\) là đường cao thứ 3 \(\Rightarrow NE\perp AB\)
Tam giác ABM nội tiếp trong đường tròn (O) có AB là đường kính nên vuông tại M
Suy ra: AN ⊥ BM
Tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) có AB là đường kính nên vuông tại C
Suy ra: AC ⊥ BN
Tam giác ABN có hai đường cao AC và BM cắt nhau tại E nên E là trực tâm của tam giác ABN
Suy ra: NE ⊥ AB
A F N M O C B E
a) Xét tam giác AMB có :
MO = OA = OB ( =bk )
\(\Rightarrow MO=\frac{1}{2}AB\)
=> Tam giác AHB vuông tại M
=> EM là đường cao của tam giác ANE
- Xét tam giác ACB có : OC = OB = OA ( =bk )
\(\Rightarrow OC=\frac{1}{2}AB\Rightarrow\Delta ACB\)vuông tại C
=> NC là đường cao của tam giác ANE
=> B là giao điểm 3 đường cao của tam giác ANE
=> AB là đường cao của tam giác ANE
Vậy : \(NE\perp AB\left(đpcm\right)\)
b) Xét 2tam giác : MAF và MNE
Có : MA = MN (gt)
MF = ME ( gt )
^AMF = ^NME ( đối đỉnh )
do đó : \(\Delta MAF=\Delta NME\left(c-g-c\right)\)
=> ^AFM = ^NEM
Mà 2 góc ^AFM và ^NEM có vị trí so le
=> AF // NE
Mà : \(NE\perp AB\)( c/m câu a ) => \(AF\perp AB\)tại A
Vậy : FA là tiếp tuyến đường tròn (O) ( đpcm )
c) Ta có : ^AMB = 90^o => \(FB\perp AN\)
MA = MB
=> FB là đường trung trực của AN
=> BN = BA ; FN = FA
- Xét 2 tam giác : ABF và NBF có : BN = BA ; FN = FA
FB chung
\(\Rightarrow\Delta ABF=\Delta NBF\left(c-c-c\right)\)
=> ^BNF = ^BAF = 90^o
\(\Rightarrow BN\perp FN\)tại B mà BN = BA
Vậy : FN là tiếp tuyến của đường tròn ( B ; BA ) ( đpcm )