Question

[Đỗ Đàm Phi Long]

Cho ΔABC vuông tại A. Vẽ phân giác BD và CE cắt nhau tại O 

a, Tính số đo ^BOC 

b, Trên BC lấy hai điểm M và N sao cho BM =BA, CN = CA. C/minh: EN // DM

c, Gọi I là giao của BD và AN. Chứng minh ΔAIM cân 

Answer 1

[Nguyễn Cao Thiên Lam]

a.xét \(\Delta ABC\)vuông tại A có

\(\widehat{B}+\widehat{C}=90^0\)(1)

mà\(\widehat{ABD}=\widehat{DBC}=\frac{\widehat{B}}{2}\)(BD là tia phân giác của \(\widehat{B}\))(2)

và\(\widehat{ACE}=\widehat{ECB}=\frac{\widehat{C}}{2}\)(CE là tia phân giác của \(\widehat{C}\))(3)

từ(1)(2)(3)=>\(\widehat{DBC}+\widehat{ECB}=\frac{\widehat{B}+\widehat{C}}{2}=\frac{90^0}{2}=45^0\)

Xét \(\Delta OBC\)có

\(\widehat{OBC}+\widehat{OCB}+\widehat{BOC}=180^0\)

Hay\(45^0+\widehat{BOC}=180^0=>\widehat{BOC}=180^0-45^0=135^0\)

b.xét\(\Delta ABD\)và\(\Delta MBD\)có

\(\widehat{ABD}=\widehat{MBD}\left(cmt\right)\)

BD chung

BA=BM(gt)

=>\(\Delta ABD=\Delta MBD\)(c.g.c)=>\(\widehat{BAD}=\widehat{DMB}\)(hai góc tương ứng)mà\(\widehat{BAD}=90^0=>\widehat{BMD}=90^0\)

Xét\(\Delta EAC\)và\(\Delta ENC\)có

EC chung

CA=CN(gt)

\(\widehat{ACE}=\widehat{NCE}\left(cmt\right)\)

=>\(\Delta EAC=\Delta NEC\)(c.g.c)=>\(\widehat{EAC}=\widehat{ANC}\)(2 góc tương ứng)mà\(\widehat{A}=90^0\)=>\(\widehat{ENC}=90^0\)

-ta có:\(EN\perp NM\left(\widehat{ENM}=90^0\right)\)(4)

\(DM\perp NM\left(\widehat{DMN}=90^0\right)\)(5)

Từ(4)và(5)=.>\(EN//DM\)(từ vuông góc đến song song)

c.xét\(\Delta ABO\)và\(\Delta MBO\)có

\(\widehat{ABO}=\widehat{MBO}\left(cmt\right)\)

AO cạnh chung

BA=BM(gt)

=>\(\Delta ABO=\Delta AMO\)(c.g.c)

=>\(\widehat{BOA}=\widehat{BOM}\)(2 góc tương ứng)mà\(\widehat{BOA}+\widehat{BOM}=180^0\)(kề bù)

=>\(\widehat{BOA}=\widehat{BOM}=\frac{180^0}{2}=90^0\)mà OA=OM (\(\Delta BAO=\Delta BMO\))

=>BO là đường trung trực của đoạn thẳng AM mà \(I\in BO\)(AN cắt BO tại I)

=>\(IA=IM\)=>\(\Delta IAM\)cân