Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a/ Đặt \(lnx=t\Rightarrow\frac{dx}{x}=dt\)
\(\Rightarrow I=\int\frac{t^2+1}{2}dt=\int\left(\frac{1}{2}t^2+\frac{1}{2}\right)dt=\frac{t^3}{6}+\frac{t}{2}+C\)
\(=\frac{ln^3x}{6}+\frac{lnx}{2}+C\)
b/ \(I=\int sin^2x.cos^2x.cosxdx=\int sin^2x\left(1-sin^2x\right)cosxdx\)
Đặt \(sinx=t\Rightarrow cosxdx=dt\)
\(I=\int t^2\left(1-t^2\right)dt=\int\left(t^2-t^4\right)dt=\frac{t^3}{3}-\frac{t^5}{5}+C\)
\(=\frac{1}{3}sin^3x-\frac{1}{5}sin^5x+C\)
c/ \(I=\int x^4\sqrt{x^2+1}xdx\)
Đặt \(\sqrt{x^2+1}=t\Rightarrow x^2=t^2-1\Rightarrow xdx=tdt\)
\(\Rightarrow I=\int\left(t^2-1\right)^2.t.tdt=\int\left(t^4-2t^2+1\right)t^2dt\)
\(=\int\left(t^6-2t^4+t^2\right)dt=\frac{1}{7}t^7-\frac{2}{5}t^5+\frac{1}{3}t^3+C\)
\(=\frac{1}{7}\sqrt{\left(x^2+1\right)^7}-\frac{2}{5}\sqrt{\left(x^2+1\right)^5}+\frac{1}{3}\sqrt{\left(x^2+1\right)^3}+C\)
d/ Đặt \(1+\sqrt{x}=t\Rightarrow x=\left(t-1\right)^2\Rightarrow dx=2\left(t-1\right)dt\)
\(\Rightarrow I=\int\frac{2\left(t-1\right)dt}{t}=\int\left(2-\frac{2}{t}\right)dt=2t-2lnt+C\)
\(=2\left(1+\sqrt{x}\right)-2ln\left(1+\sqrt{x}\right)+C\)
Không phải tất cả các câu đều dùng nguyên hàm từng phần được đâu nhé, 1 số câu phải dùng đổi biến, đặc biệt những câu liên quan đến căn thức thì đừng dại mà nguyên hàm từng phần (vì càng nguyên hàm từng phần biểu thức nó càng phình to ra chứ không thu gọn lại, vĩnh viễn không ra kết quả đâu)
a/ \(I=\int\frac{9x^2}{\sqrt{1-x^3}}dx\)
Đặt \(u=\sqrt{1-x^3}\Rightarrow u^2=1-x^3\Rightarrow2u.du=-3x^2dx\)
\(\Rightarrow9x^2dx=-6udu\)
\(\Rightarrow I=\int\frac{-6u.du}{u}=-6\int du=-6u+C=-6\sqrt{1-x^3}+C\)
b/ Đặt \(u=1+\sqrt{x}\Rightarrow du=\frac{dx}{2\sqrt{x}}\Rightarrow2du=\frac{dx}{\sqrt{x}}\)
\(\Rightarrow I=\int\frac{2du}{u^3}=2\int u^{-3}du=-u^{-2}+C=-\frac{1}{u^2}+C=-\frac{1}{\left(1+\sqrt{x}\right)^2}+C\)
c/ Đặt \(u=\sqrt{2x+3}\Rightarrow u^2=2x\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{u^2}{2}\\dx=u.du\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=\int\frac{u^2.u.du}{2u}=\frac{1}{2}\int u^2du=\frac{1}{6}u^3+C=\frac{1}{6}\sqrt{\left(2x+3\right)^3}+C\)
d/ Đặt \(u=\sqrt{1+e^x}\Rightarrow u^2-1=e^x\Rightarrow2u.du=e^xdx\)
\(\Rightarrow I=\int\frac{\left(u^2-1\right).2u.du}{u}=2\int\left(u^2-1\right)du=\frac{2}{3}u^3-2u+C\)
\(=\frac{2}{3}\sqrt{\left(1+e^x\right)^2}-2\sqrt{1+e^x}+C\)
e/ Đặt \(u=\sqrt[3]{1+lnx}\Rightarrow u^3=1+lnx\Rightarrow3u^2du=\frac{dx}{x}\)
\(\Rightarrow I=\int u.3u^2du=3\int u^3du=\frac{3}{4}u^4+C=\frac{3}{4}\sqrt[3]{\left(1+lnx\right)^4}+C\)
f/ \(I=\int cosx.sin^3xdx\)
Đặt \(u=sinx\Rightarrow du=cosxdx\)
\(\Rightarrow I=\int u^3du=\frac{1}{4}u^4+C=\frac{1}{4}sin^4x+C\)
1) Đặt \(t=1+\sqrt{x-1}\Leftrightarrow x=\left(t-1\right)^2+1\forall t\ge1\Rightarrow dx=d\left(t-1\right)^2=2dt\)
\(\Rightarrow I_1=\int\frac{\left(t-1\right)^2+1}{t}\cdot2dt=2\int\frac{t^2-2t+2}{t}dt=2\int\left(t-2+\frac{2}{t}\right)dt\\ =t^2-4t+4lnt+C\)
Thay x vào ta có...
2) \(I_2=\int\frac{2sinx\cdot cosx}{cos^3x-\left(1-cos^2x\right)-1}dx=\int\frac{-2cosx\cdot d\left(cosx\right)}{cos^3x+cos^2x-2}=\int\frac{-2t\cdot dt}{t^3+t-2}\)
\(I_2=\int\frac{-2t}{\left(t-1\right)\left(t^2+2t+2\right)}dt=-\frac{2}{5}\int\frac{dt}{t-1}+\frac{1}{5}\int\frac{2t+2}{t^2+2t+2}dt-\frac{6}{5}\int\frac{dt}{\left(t+1\right)^2+1}\)
Ta có:
\(\int\frac{2t+2}{t^2+2t+2}dt=\int\frac{d\left(t^2+2t+2\right)}{t^2+2t+2}=ln\left(t^2+2t+2\right)+C\)
\(\int\frac{dt}{\left(t+1\right)^2+1}=\int\frac{\frac{1}{cos^2m}}{tan^2m+1}dm=\int dm=m+C=arctan\left(t+1\right)+C\)
Thay x vào, ta có....
\(a,\int sin2x.cosxdx=\int\dfrac{1}{2}\left[sin3x+sinx\right]dx=\dfrac{1}{2}\int sin3xdx+\dfrac{1}{2}\int sinxdx=\dfrac{-1}{6}cos3x-\dfrac{1}{2}cosx\)
8.
\(I=\int sinx.cos2xdx=\int\left(2cos^2x-1\right)sinxdx\)
\(=\int\left(1-2cos^2x\right)d\left(cosx\right)=cosx-\frac{2}{3}cos^3x+C\)
9.
\(I=\int\frac{sin2x}{1+cos^2x}dx=-\int\frac{2\left(-sinx\right).cosx}{1+cos^2x}dx=-\int\frac{d\left(cos^2x\right)}{1+cos^2x}\)
\(=-ln\left|1+cos^2x\right|+C\)
6.
\(I=\int cos^3xdx=\int\left(1-sin^2x\right)cosxdx\)
\(=\int\left(1-sin^2x\right)d\left(sinx\right)=sinx-\frac{1}{3}sin^3x+C\)
7.
\(I=\int sin^2x.cos^3xdx=\int sin^2x\left(1-sin^2x\right)cosxdx\)
\(=\int\left(sin^2x-sin^4x\right)d\left(sinx\right)=\frac{1}{3}sin^3x-\frac{1}{5}sin^5x+C\)