Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
- Biết a – b = 7 tính : A = a2(a + 1) – b2(b – 1) + ab – 3ab(a – b + 1)
- Cho ba số a, b, c khác 0 thỏa nãm đẳng thức :
1) Áp dụng HĐT mở rộng :
\(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)=0\)(do a + b + c = 0)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)
2 )Vì a;b;c là độ dài 3 cạch của 1 tam giác nên \(\hept{\begin{cases}a+b>c\\a+c>b\\a+b>c\end{cases}}\)(bđt tam giác)
\(\Rightarrow\frac{c}{a+b}< 1\Rightarrow\frac{c}{a+b}< \frac{2c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{b}{a+c}< 1\Rightarrow\frac{b}{a+c}< \frac{2b}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b+c}< 1\Rightarrow\frac{a}{b+c}< \frac{2a}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}< \frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=2\)(đpcm)
3 ) \(x^5+y^5\ge x^4y+xy^4\)
\(\Leftrightarrow x^5+y^5-x^4y-xy^4\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4\right)-xy\left(x^3+y^3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4\right)-xy\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4-x^3y+x^2y^2-xy^3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2\left(x^2+y^2\right)\ge0\)(luôn đúng với mọi \(x;y\ne0andx+y\ge0\))
Vậy \(x^5+y^5\ge x^4y+xy^4\)
a3 + b3 + c3 = ( a + b + c). +( a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) + 3abc
= 0 . (a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca ) + 3abc
= 3abc ( đpcm)
Bài 3a)
\(a+b+c=0\Leftrightarrow a+b=-c\Leftrightarrow a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)=-c^3\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=-3ab\left(a+b\right)\)
mà \(a+b=-c\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)
ta có:
(a+b+c)3=a3+b3+c3+3a2b+3a2c+3b2a+3b2c+3c2a+3c2b+6abc
=a3+b3+c3+(3a2b+3a2c+3abc)+(3b2a+3b2c+3abc)+(3c2a+3c2b+3abc)-3abc
=a3+b3+c3+3a.(ab+ac+bc)+3b(ab+ac+bc)+3c.(ab+ac+bc)-3abc
=a3+b3+c3+3.(a+b+c)(ab+ac+bc)-3abc
=>03=a3+b3+c3+3.0.(ab+ac+bc)-3abc
0=a3+b3+c3-3abc
<=>a3 + b3 + c3 = 3abc
a + b + c = 0 => a + b = -c
TA có
a^3 + b^3 + c^3 = ( a+ b)^3 - 3ab . ( a+ b) + c^3
Thay a +b = -c ta có
a^3 + b^3 + c^3 = -c^3 - 3ab.(-c) + c^3 = 3abc (ĐPCM)
mk làm câu 1) CMR: x5 + y5 \(\ge\) x4y + xy4 với x,y \(\ne\) 0 và x + y \(\ge\) 0.
Giải
Ta có: \(x^5+y^5\ge x^4y+xy^4\) (**)
\(\Leftrightarrow\left(x^5-x^4y\right)-\left(xy^4-y^5\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^4\left(x-y\right)-y^4\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^4-y^4\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2-y^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)\ge0\) (*)
Ta thấy: \(\left(x-y\right)^2\ge0\), x + y \(\ge\) 0(gt), x2 + y2 \(\ge\) 0,do đó BĐT(*) luôn đúng.
Vậy BĐT(**) được chứng minh, dấu "=" xảy ra khi x = y.
1) Ta có: a + b + c = 0 <=> \(a+b=-c\)
=> \(\left(a+b\right)^3=-c^3\)
=> \(a^3+3ab\left(a+b\right)+b^3\) = \(-c^3\)
=> \(a^3+b^3+c^3=-3ab\left(a+b\right)\)
=> \(a^3+b^3+c^3=-3ab.\left(-c\right)\) ( Vì \(a+b=-c\))
=> \(a^3+b^3+c^3=3abc\) => đpcm
2) Vì a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác
=> a,b,c > 0 và a < b+c ; b < a+ c ; c < a+ b
Ta có: \(\dfrac{a}{b+c}< \dfrac{a+a}{a+b+c}\) = \(\dfrac{2a}{a+b+c}\) ( b + c > 0; a >0)
\(\dfrac{b}{a+c}< \dfrac{b+b}{a+c+b}\) = \(\dfrac{2b}{a+b+c}\) ( a + c > 0; b > 0)
\(\dfrac{c}{a+b}< \dfrac{c+c}{a+b+c}\) = \(\dfrac{2c}{a+b+c}\) ( a + b >0; c > 0)
=> \(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}\) < \(\dfrac{2a+2b+2c}{a+b+c}\) = \(\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\) = 2
=> đpcm
a+b+c => a+b= -c
=> (a+b)2 = (-c)2
=> a3+b3+3ab(a+b) = -c2
=> a3+b3+c3 = -3ab(a+b)
=> a2+b2+c2 = -3ab(-c) = 3abc