Question

[Hiếu Mình Là]

 Cho \(\Delta\)ABC có \(\widehat{A}\)< 90 độ. Kẻ AH \(\perp\)BC, gọi E, F lần lượt là điểm đối xứng của H đi qua AB, AC. Đường thẳng EF cắt AB, AC lần lượt tại M và N. Chứng minh:

        a) AE = AF

        b) HA là phân giác \(\widehat{MHN}\)

        c) CM song song với EH và BN song song với FH

Answer 1

[Thanh Tùng DZ]

A B C H E F M N

a) vì E,F lần lượt là điểm đối xứng của H qua AB,AC nên AB,AC lần lượt là trung trực của EH và FH

\(\Rightarrow\)AE = AH ; AH = AF

\(\Rightarrow\)AE = AF

b) vì AE = AF \(\Rightarrow\)\(\Delta AEF\)cân tại A \(\Rightarrow\)\(\widehat{AEF}=\widehat{AFE}\)( 1 )

Xét \(\Delta AME\)và \(\Delta AMH\)có :

AM ( cạnh chung ) 

AE = AH ( cmt )

ME = MH ( vì AB là đường trung trực EH )

\(\Rightarrow\)\(\Delta AME\)= \(\Delta AMH\)( cc.c )

\(\Rightarrow\)\(\widehat{AEM}=\widehat{AHM}\) ( 2 )

Xét \(\Delta ANH\)và \(\Delta ANF\)có :

AN ( cạnh chung )

AH = AF ( cmt )

NH = NF ( vi AC là trung trực HF )

\(\Rightarrow\)\(\Delta ANH\)= \(\Delta ANF\)( c.c.c )

\(\Rightarrow\)\(\widehat{AHN}=\widehat{AFN}\)( 3 )

Từ ( 1 ), ( 2 ) và ( 3 ) suy ra : \(\widehat{MHA}=\widehat{NHA}\)

\(\Rightarrow\)HA là phân giác \(\widehat{MHN}\)

c) vi NH = NF nên \(\Delta NHF\)cân tại N

\(\Rightarrow\)NC là phân giác \(\widehat{HNF}\)

xét \(\Delta EMH\)có EM = MH

\(\Rightarrow\)\(\Delta EMH\)cân tại M

\(\Rightarrow\)MB là phân giác \(\widehat{EMH}\)

Xét \(\Delta MNH\)có HA là phân giác \(\widehat{MHN}\)mà BH \(\perp\)AH

\(\Rightarrow\)BH là phân giác ngoài của \(\Delta MNH\)tại H

Tương tự : NC là phân giác ngoài của \(\Delta MNH\) tai H

Xét \(\Delta MNH\)có MC và HC là 2 phân giác ngoài của \(\Delta MNH\)

\(\Rightarrow\)MC là phân giác góc trong \(\Delta MNH\)

\(\Rightarrow\)\(\widehat{BMC}=\frac{\widehat{EMH}+\widehat{HMN}}{2}=90^o\)

Ta có : \(\widehat{BMH}+\widehat{HMC}=90^o\); \(\widehat{BMH}+\widehat{MHE}=90^o\)

\(\Rightarrow\)\(\widehat{HMC}=\widehat{EHM}\)

\(\Rightarrow\)CM // EH

CM tương tự : BN // HF