Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a, Theo giả thiết : AM//NF và AN//MF => ANFM là hình bình hành (1)
mà AD = AB; DN = BM => tg vuông ADN = tg vuông ABM => AN = AM (2)
và ^AND = ^AMB => AN _I_ AM (3) ( vì đã có DN _I_ BM)
(1) và (2) => ANFM là hình thoi (4)
(3) và (4) => ANFM là hình vuông
b, Gọi P và giao điểm của AM và CN. Dễ thấy tg vuông ANP đồng dạng tg vuông CMP ( vì có ^P đối đỉnh ) => AP/CP = AN/CM = FM/CM (5) (vì FM = AN)
Mặt khác : AP _I_ FM ( vì ANFM là hình vuông ) và CP _I_ CM => ^APC = ^FMC (6) ( góc có cạnh tương ứng vuông góc )
(5) và (6) => tg APC đồng dạng tam giác FMC => ^FCM = ^ACP = 45o = ^FCN => CF là tia phân giác của ^MCN và ^ACF = 90o
c, Dễ thấy AO/AM = AD/AC = √2 (7)
và vì ^OAM = ^DAC = 45o <=> ^OAM - ^DAM = ^DAC - ^DAM <=> ^OAD = ^MAC (8)
(7) và (8) => tg AOD đồng dạng tg AMC => ^ADO = ^ACM = 135o => ^ODN = 45o = ^BDC => B; D; O thẳng hàng
Dễ thấy BO//CF => BOFC là hình thang
a, Theo giả thiết : AM//NF và AN//MF => ANFM là hình bình hành (1)
mà AD = AB; DN = BM => tg vuông ADN = tg vuông ABM => AN = AM (2)
và ^AND = ^AMB => AN _I_ AM (3) ( vì đã có DN _I_ BM)
(1) và (2) => ANFM là hình thoi (4)
(3) và (4) => ANFM là hình vuông
b, Gọi P và giao điểm của AM và CN. Dễ thấy tg vuông ANP đồng dạng tg vuông CMP ( vì có ^P đối đỉnh ) => AP/CP = AN/CM = FM/CM (5) (vì FM = AN)
Mặt khác : AP _I_ FM ( vì ANFM là hình vuông ) và CP _I_ CM => ^APC = ^FMC (6) ( góc có cạnh tương ứng vuông góc )
(5) và (6) => tg APC đồng dạng tam giác FMC => ^FCM = ^ACP = 45o = ^FCN => CF là tia phân giác của ^MCN và ^ACF = 90o
c, Dễ thấy AO/AM = AD/AC = \(\sqrt{2}\) (7)
và vì ^OAM = ^DAC = 45o <=> ^OAM - ^DAM = ^DAC - ^DAM <=> ^OAD = ^MAC (8)
(7) và (8) => tg AOD đồng dạng tg AMC => ^ADO = ^ACM = 135o => ^ODN = 45o = ^BDC => B; D; O thẳng hàng
Dễ thấy BO//CF => BOFC là hình thang
Bài 1:
A B C D M N P Q E F
a) Xét tam giác ABC có M là trung điểm của AB (gt) ,E là trung điểm của AC (gt)
\(\Rightarrow ME\)là đường trung bình tam giác ABC
\(\Rightarrow ME=\frac{1}{2}BC\left(tc\right)\left(1\right)\)
Xét tam giác ADC có E là trung điểm của AC (gt) ,P là trung điểm của DC (gt)
\(\Rightarrow PE\)là đường trung bình của tam giác ADC
\(\Rightarrow PE=\frac{1}{2}AD\left(tc\right)\left(2\right)\)
mà \(AD=BC\left(gt\right)\left(3\right)\)
Từ (1) , (2) và (3) \(\Rightarrow EM=PE\)
CMTT: \(PE=FP,FM=ME\)
\(\Rightarrow ME=EP=PF=FM\)
Xét tứ giác MEPF có:
\(ME=EP=PF=FM\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow MEPF\)là hình thoi ( dhnb)
b) Vì \(MEPF\)là hình thoi (cmt)
\(\Rightarrow FE\)giao với MP tại trung điểm mỗi đường (tc) (4)
Xét tam giác ADB có M là trung điểm của AB(gt) ,Q là trung điểm của AD (gt)
\(\Rightarrow MQ\)là đường trung bình của tam giác ADB
\(\Rightarrow MQ//DB,MQ=\frac{1}{2}DB\left(tc\right)\left(5\right)\)
Xét tam giác BDC có N là trung điểm của BC(gt) , P là trung điểm của DC(gt)
\(\Rightarrow NP\)là đường trung bình của tam giác BDC
\(\Rightarrow NP//DB,NP=\frac{1}{2}DB\left(tc\right)\left(6\right)\)
Từ (5) và (6) \(\Rightarrow MQ//PN,MQ=PN\)
Xét tứ giác MQPN có \(\Rightarrow MQ//PN,MQ=PN\)
\(\Rightarrow MQPN\)là hình bình hành (dhnb)
\(\Rightarrow MP\)giao QN tại trung điểm mỗi đường (tc) (7)
Từ (4) và (7) \(\Rightarrow MP,NQ,EF\)cắt nhau tại một điểm
c) Xét tam giác ABD có Q là trung điểm của AD (gt), F là trung điểm của BD(gt)
\(\Rightarrow QF\)là đường trung bình của tam giác ADB
\(\Rightarrow QF//AB\left(8\right)\)
CMTT: \(FN//CD\)và \(EN//AB\)
Mà Q,F,E,N thẳng hàng
\(\Rightarrow AB//CD\)
Vậy để Q,F,E,N thẳng hàng thì tứ giác ABCD phải thêm điều kiện \(AB//CD\)
(Đề là trên tia BC nha)
â) Xét tam giác ABM va tam giac ADN ( ABM = ADN=90) , co :
BM=DN(gt)
AD=AB(ABCD là hinh vuông)
=> tam giac ABM = tam giac ADN (cgv-cgv)
=>AN=AM va MAB = NAD
Ta co : MAB + DAM=90
Ma MAB =NAD (cmt)
=>NAD + DAM =90
<=> NAM =90
Xet tg ANFM , co : AN//FM (gt) va AM//NF (gt)
=> ANFM la hbh
Ma NAM =90 (cmt) ; AN=AM (cmt)
=> ANFM là hình vuông ( Vì đây là hình chữ nhật có 2 cạnh kề bằng nhau )
b) Từ F kẻ FP vuông góc với NC , FH vuông góc với BC
Xét tam giác NPF và tam giác MHF (APF =HMF) , co :
MF = FN (AMFN la hinh vuong )
NFP=MFH ( cùng phụ với PFM )
=> tam giác NPF = tam giác MHF (c.huyen-gn)
=> PF=FH
Theo định lý đảo của tia phân giác trong NCM , co :
PF=FH(cmt)
Ma PF \(\perp\) PC (cách ve ) ; FH \(\perp\) CH
=> F nằm trên tia phân giác của NCM
c)Nói C và F , ta được CF là tia phân giác của NCM (câu b)
Ta có : PCF + FCH =PCH =90
Mà PCF = FCH ( CF là tia phân giác NCM)
=> PCH = 2 PCF (1)
Ta co : ACD + ACB = DCB =90
Mà ACD = ACB ( AC là tia phân giác DCB ; ABCD là hình vuông )
=> DCB = 2 ACD (2)
Từ (1) vả (2) => PCH + DCB = 2( PCF + ACD)
<=> 180 = 2 ( PCF + ACD)
<=> 180 = 2 . ACF
<=> ACF = 90
=>AC \(\perp\) CF( dpcm )
đ) Gọi R là giao điểm của hai đường chéo tg ABCD là AC và BD
Xét tam giác AFC , co :
OA =OF ( gt)
AR = CR ( do 2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường trong hình vuông ABCD )
=> OR là đường trung bình của tam giác AFC
=> O và R cùng thuộc 1 đường thẳng
Mặt khác , ta có : R \(\in\) BD ( cach ve )
=> O \(\in\) BD
=> O , B, D thẳng hàng
Ta có : OB //FC ( OR là đường trung bình )
=> BOFC là hình thang