Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
M A C D B O K N E F H I
a/
Ta có A và B cùng nhìn MO dưới 1 góc vuông => B và B thuộc đường tròn đường kính MO => A, B, M, O cùng nằm trên 1 đường tròn
b/
Ta có
\(C_{MCD}=MC+MD+CD=\left(MC+NC\right)+\left(MD+ND\right).\)
Ta có
MA = MB (hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm)
NC=AC; ND = BD (hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm)
\(\Rightarrow C_{MCD}=\left(MC+AC\right)+\left(MD+BD\right)=MA+MB=2MA\)
M cố định; A cố định => MA không đổi \(\Rightarrow C_{MCD}=2MA\) không đổi => \(C_{MCD}\) không phụ thuộc vị trí điểm N
c/
Xét tg vuông NOC và tg vuông AOC có
OC chung
NC = AC (cmt)
\(\Rightarrow\Delta NOC=\Delta AOC\) (hai tg vuông có cạnh huyền và cạnh góc vuông bằng nhau) \(\Rightarrow\widehat{OCA}=\widehat{OCD}\) (1)
Gọi P là giao OC với (O) và Q là giao của OD với (O)
Ta có
sđ cung AP = sđ cung NP; sđ cung BQ = sđ cung NQ (hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm thì đường nối điểm đó với tâm đường tròn chia đôi cung giới hạn bởi hai tiếp điểm)
=> sđ cung NP = 1/2 sđ cung AN; sđ cung NQ = 1/2 sđ cung BN
=> sđ cung NP + sđ cung NQ = sđ cung PQ = 1/2 sđ cung AN + 1/2 sđ cung BN = 1/2 sđ cung AB
\(\Rightarrow\widehat{COD}=sđ\) cung PQ = 1/2 sđ cung AB (góc ở tâm)
Ta có \(\widehat{CAB}=\)1/2 sđ cung AB (góc giữa tiếp tuyến và dây cung)
\(\Rightarrow\widehat{CAB}=\widehat{COD}\) (2)
Xét tg CKA và tg ODC có
\(\widehat{OCA}=\widehat{OCD;}\widehat{CAB}=\widehat{COD}\) => tg CKA đồng dạng với tg ODC (g.g.g)
d/
Gọi I là giao của EF với MA
Xét tg OAB và tg OEF có
OA = OE; OB = OF (đều là bán kính (O))
\(\widehat{AOB}=\widehat{EOF}\) (góc đối đỉnh)
\(\Rightarrow\Delta OAB=\Delta OEF\left(c.g.c\right)\Rightarrow\widehat{BAO}=\widehat{IEO}\) => AB // EF (hai đường thẳng bị cắt bởi 1 đường thẳng tạo thành 2 góc so le trong = nhau thì // với nhau)
Ta có \(MO\perp AB\) (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm thì đường nối điểm đó với tâm đường tròn vuông góc với dây cung nối 2 tiếp điểm)
\(\Rightarrow MO\perp EF\) (đường thẳng vuông góc với 1 trong 2 đường thẳng // với nhau thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại)
Xét \(\Delta MIE\) có
\(EA\perp MI;MO\perp EF\) => O là trực tâm của tg MIE => OH là đường cao thuộc cạnh ME => OH phải đi qua I => EF; MA; OH đồng quy tại I
4) Ta có: \(AM//PQ\)( cùng vuông góc với OC )
Xét tam giác COQ có: \(EM//OQ\)
\(\Rightarrow\frac{CE}{CO}=\frac{EM}{OQ}\)( hệ quả của định lý Ta-let ) (1)
Xét tam giác COP có: \(AE//OP\)
\(\Rightarrow\frac{CE}{CO}=\frac{AE}{OP}\)( hệ quả của định lý Ta-let ) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{EM}{OQ}=\frac{AE}{OP}\)Mà AE=EM
\(\Rightarrow OQ=OP\)
Xét tam giác CPQ và tam giác COP có chung đường cao hạ từ C, đáy \(OP=\frac{PQ}{2}\)
\(\Rightarrow S_{\Delta CPQ}=2.S_{\Delta COP}\)
Ta có: \(S_{\Delta COP}=\frac{1}{2}OA.CP=\frac{1}{2}R.CP\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác COP vuông tại O có đường cao OA ta có:
\(OA^2=CA.AP\)
Mà \(CA.AP\le\frac{\left(CA+AP\right)^2}{4}=\frac{PC^2}{4}\)( BĐT cô-si )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow AC=AP\)
\(\Rightarrow PC^2\ge4OA^2\)
\(\Rightarrow PC\ge2OA=2R\)
\(\Rightarrow S_{\Delta COP}\ge R^2\)
\(\Rightarrow S_{\Delta CPQ}\ge2R^2\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow AC=AP\)
Mà tam giác COP vuông tại O có đường cao OA
\(\Rightarrow AC=AP=OA=R\)
Khi đó áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác CAO vuông tại A ta được:
\(AC^2+AO^2=OC^2\)
\(\Rightarrow OC=\sqrt{AC^2+AO^2}=R\sqrt{2}\)
Vậy điểm C thuộc đường thẳng d sao cho \(OC=R\sqrt{2}\)thì diện tích tam giác CPQ nhỏ nhất
a, ∆IAK:∆IBA => I A I B = I K I A
Mà IA = IM => I M I B = I K I M
=> ∆IKM:∆IMB
b, Chứng minh được: I M K ^ = K C B ^ => BC//MA(đpcm)