PT
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
BH
15 tháng 4 2018
1a)Xét a2 + 5 - 4a =a2 - 4a + 4+1=(a - 2)2+1\(\ge\)1 hay (a -2)2 + 1 > 0
\(\Rightarrow\)Đpcm
b)Xét 3(a2 + b2 + c2) -(a + b +c)2 =3a2 + 3b2 + 3c2 - a2 - b2 - c2 - 2ab - 2ac - 2bc
=2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2ac - 2bc
=(a - b)2 + (a - c)2 + (b - c)2\(\ge\)0 (với mọi a,b,c)
\(\Rightarrow\)Đpcm
2)Xét A=\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(a+c+b\right)=3+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\)
áp dụng cô-sy
\(\Rightarrow\)A\(\ge\)9
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=3\)
N
1 tháng 4 2017
Bài 1: \(a+b\ge1\). cm \(a^4+b^4\ge\dfrac{1}{8}\)
ta có : \(a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2=\dfrac{1}{2}\)(BĐT bunyakovsky)
Áp dụng BĐt bunyakovsky 1 lần nữa:
\(a^4+b^4\ge\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)^2\ge\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{8}\)
dấu = xảy ra khi \(a=b=\dfrac{1}{2}\)
Bài 2:
Áp dụng BĐT bunyakovsky dạng đa thức và phân thức:
\(\left(\dfrac{a^3}{b^2}+\dfrac{b^3}{c^2}+\dfrac{c^3}{a^2}\right)\left(a+b+c\right)\ge\left(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\right)^2\ge\left[\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}\right]^2=\left(a+b+c\right)^2\)
do đó \(\dfrac{a^3}{b^2}+\dfrac{b^3}{c^2}+\dfrac{c^3}{a^2}\ge a+b+c\)
dấu = xảy ra khi a=b=c
1 tháng 4 2017
Bài 1:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\left(1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2=1\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge1\Rightarrow a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\)
Lại theo Cauchy-Schwarz lần nữa:
\(\left[\left(1^2\right)^2+\left(1^2\right)^2\right]\left[\left(a^2\right)^2+\left(b^2\right)^2\right]\ge\left(a^2+b^2\right)^2=\dfrac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^4+b^4\right)\ge\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow a^4+b^4\ge\dfrac{1}{8}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=\dfrac{1}{2}\)
Bài 2:
Trước tiên ta chứng minh \(\dfrac{a^3}{b^2}+\dfrac{b^3}{c^2}+\dfrac{c^3}{a^2}\ge\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\)
Ta chứng minh bổ đề: \(\dfrac{a^3}{b^2}\ge\dfrac{a^2}{b}+a-b\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)(đúng)
Viết các BĐT tương tự và cộng lại
\(\dfrac{a^3}{b^2}+\dfrac{b^3}{c^2}+\dfrac{c^3}{a^2}\ge\dfrac{a^2}{b}+a-b+\dfrac{b^2}{c}+b-c+\dfrac{c^2}{a}+c-a=\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=a+b+c\left(2\right)\)
Từ \((1);(2)\) ta thu được ĐPCM
FF
28 tháng 8 2016
3. abc > 0 nên trog 3 số phải có ít nhất 1 số dương.
Vì nếu giả sử cả 3 số đều âm => abc < 0 => trái giả thiết
Vậy nên phải có ít nhất 1 số dương
Không mất tính tổng quát, giả sử a > 0
mà abc > 0 => bc > 0
Nếu b < 0, c < 0:
=> b + c < 0
Từ gt: a + b + c < 0
=> b + c > - a
=> (b + c)^2 < -a(b + c) (vì b + c < 0)
<=> b^2 + 2bc + c^2 < -ab - ac
<=> ab + bc + ca < -b^2 - bc - c^2
<=> ab + bc + ca < - (b^2 + bc + c^2)
ta có:
b^2 + c^2 >= 0
mà bc > 0 => b^2 + bc + c^2 > 0
=> - (b^2 + bc + c^2) < 0
=> ab + bc + ca < 0 (vô lý)
trái gt: ab + bc + ca > 0
Vậy b > 0 và c >0
=> cả 3 số a, b, c > 0
3 tháng 5 2019
1.a, Ta có: \(\left(a+b\right)^2\ge4a>0\)
\(\left(b+c\right)^2\ge4b>0\)
\(\left(a+c\right)^2\ge4c>0\)
\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64abc\)
Mà abc=1
\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\ge8\left(đpcm\right)\)
29 tháng 6 2015
1) \(x^3-x^2+2x=x\left(x^2-x+2\right)\)bạn xem lại đề xem có sai không nha. chỗ này sau khi thu gọn và cho x ra ngoài thì phải có dạng: \(x\left(x^2-3x+2\right)=x\left(x^2-2x-x+2\right)=x\left(x-1\right)\left(x-2\right)\)hoặc \(x\left(x^2+3x+2\right)=x\left(x^2+2x+x+2\right)=x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\)
nó là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp => trong đó phỉa có 1 số chia hết cho 2, có một số chia hết cho 3. vì 3,2 ngtố cùng nhau =>tích của 3 số ltiếp sẽ chia hết cho 3.2=6 => chia hết cho 6 với mọi x
2) \(a^2-\left(b^2-2bc+c^2\right)=a^2-\left(b-c\right)^2=\left(a+b-c\right)\left(a-b+c\right)\)
mình làm đến đây thì k biết giải thích sao nữa :( thôi cứ tick đúng cho mình nha
ML
29 tháng 6 2015
Câu 1 Sai đề. Chỉ cần thay x = 1,2,3 ta thấy ngay sai
Câu 2 sai đề. chứng minh như sau;
Thay a,b,c là số dài 3 cạnh của 1 tam giác đều có cạnh 0,5 (nhỏ hơn 1 là đủ)
\(a^2-\left(b^2-2bc+c^2\right)>c\)\(\Leftrightarrow a^2-\left(b-c\right)^2>c\)
Với a = b = c = 0,5 thì điều trên tương đương \(0,5^2-\left(0,5-0,5\right)^2>0,5\)
\(\Leftrightarrow0,25>0,5\) => vô lí
T
4 tháng 1 2019
\(\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}\) (Cô si ngược + Rút gọn)
Tương tự \(\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2};\frac{c}{1+a^2}\ge c-\frac{ca}{2}\)
Cộng theo vế 3 BĐT,ta được: \(VT\ge\left(a+b+c\right)-\left(\frac{ab+bc+ca}{2}\right)=3-\frac{ab+bc+ca}{2}\)
Mặt khác,ta có BĐT \(xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\) (bạn tự c/m,không làm được ib)
Thay x = a; y = b ; z = c,ta có: \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{9}{3}=3\)
Suy ra\(VT\ge3-\frac{ab+bc+ca}{2}\ge3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}^{\left(đpcm\right)}\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1
KK
2 tháng 4 2017
\(VT=a-\dfrac{ab^2}{b^2+1}+b-\dfrac{bc^2}{c^2+1}+c-\dfrac{ca^2}{a^2+1}\)
\(VT=3-\left(\dfrac{ab^2}{b^2+1}+\dfrac{bc^2}{c^2+1}+\dfrac{ca^2}{a^2+1}\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^2+1\ge2\sqrt{b^2}=2b\\c^2+1\ge2\sqrt{c^2}=2c\\a^2+1\ge2\sqrt{a^2}=2a\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{ab^2}{b^2+1}\le\dfrac{ab^2}{2b}=\dfrac{ab}{2}\\\dfrac{bc^2}{c^2+1}\le\dfrac{bc^2}{2c}=\dfrac{bc}{2}\\\dfrac{ca^2}{a^2+1}\le\dfrac{ca^2}{2a}=\dfrac{ca}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{ab^2}{b^2+1}+\dfrac{bc^2}{c^2+1}+\dfrac{ca^2}{a^2+1}\le\dfrac{ab+bc+ca}{2}\)
\(\Rightarrow3-\left(\dfrac{ab^2}{b^2+1}+\dfrac{bc^2}{c^2+1}+\dfrac{ca^2}{a^2+1}\right)\ge3-\dfrac{ab+bc+ca}{2}\) ( 1 )
Theo hệ quả của bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow3\ge ab+bc+ca\)
\(\Rightarrow\dfrac{3}{2}\ge\dfrac{ab+bc+ca}{2}\)
\(\Rightarrow\dfrac{3}{2}\le3-\dfrac{ab+bc+ca}{2}\) ( 2 )
Từ (1) và (2)
\(\Rightarrow3-\left(\dfrac{ab^2}{b^2+1}+\dfrac{bc^2}{c^2+1}+\dfrac{ca^2}{a^2+1}\right)\ge\dfrac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{b^2+1}+\dfrac{b}{c^2+1}+\dfrac{c}{a^2+1}\ge\dfrac{3}{2}\) ( đpcm )
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Nguyen Sy Hoc: mình nghĩ đề đâu sai đâu nhỉ?
Có:
\(\frac{a}{1+b^2}=a.\left(1-\frac{b^2}{1+b^2}\right)\ge a\left(1-\frac{b^2}{2b}\right)=a-\frac{ab}{2}\)
Tương tự \(\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2}\); \(\frac{c}{1+a^2}\ge c-\frac{ca}{2}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta thu được:
\(VT\ge\left(a+b+c\right)-\frac{ab+bc+ca}{2}\ge\left(a+b+c\right)-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{6}=\frac{3}{2}^{\left(đpcm\right)}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
100% đề sai
mong bn xem lại