Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:\(A\ge\left(a+b+1\right)\frac{\left(a+b\right)^2}{2}+\frac{4}{a+b}\)
Đặt \(t=a+b\)thì \(t\ge2\) theo AM-GM
Ta có:\(A\ge\frac{t^3}{2}+\frac{t^2}{2}+\frac{4}{t}=\frac{t^3}{2}+\frac{t^2}{4}+\frac{t^2}{4}+\frac{2}{t}+\frac{2}{t}\ge4+1+3=8\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=1\)
UCT. Chứng minh \(2a+\frac{1}{a}\ge\frac{a^2+5}{2}\) với \(0< a^2;b^2;c^2< \sqrt{3}\)
Tương tự cộng lại là xong
Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có:
\(a+\frac{1}{a}\ge2\)và \(b+\frac{1}{b}\ge2\)và \(c+\frac{1}{c}\ge2\)
\(\Rightarrow P\ge a+b+c+6\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)( thỏa đề bài)
\(\Leftrightarrow minP=1+1+1+6=9\)
Từ \(a^2+b^2=4\Rightarrow\left(a+b\right)^2-2ab=4\Rightarrow2ab=\left(a+b\right)^2-4\)
Ta có: \(2A=\frac{2ab}{a+b+2}=\frac{\left(a+b\right)^2-4}{a+b+2}=a+b-2\)
\(\le\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}-2=2\sqrt{2}-2\)
\(\Rightarrow2M\le2\sqrt{2}-2\Rightarrow M\le\sqrt{2}-1\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=\sqrt{2}\)
a2(b+c)2+5bc+b2(a+c)2+5ac≥4a29(b+c)2+4b29(a+c)2=49(a2(1−a)2+b2(1−b)2)(vì a+b+c=1)
a2(1−a)2−9a−24=(2−x)(3x−1)24(1−a)2≥0(vì )<a<1)
⇒a2(1−a)2≥9a−24
tương tự: b2(1−b)2≥9b−24
⇒P⩾49(9a−24+9b−24)−3(a+b)24=(a+b)−94−3(a+b)24.
đặt t=a+b(0<t<1)⇒P≥F(t)=−3t24+t−94(∗)
Xét hàm (∗) được: MinF(t)=F(23)=−19
⇒MinP=MinF(t)=−19.dấu "=" xảy ra khi a=b=c=13
mình quỳ bạn luôn Nhân Thiên Hoàng ạ kiệt lên mạng hỏi mà mày lại bảo vậy thì thua luôn
Bài 1:
Ta có: \(M=4x^2-3x+\dfrac{1}{4x}+2011=4x^2-4x+1+x+\dfrac{1}{4x}+2010\)
\(=\left(4x^2-4x+1\right)+\left(x+\dfrac{1}{4x}\right)+2010\)
\(=\left(2x-1\right)^2+\left(x+\dfrac{1}{4x}\right)+2010\)
Áp dụng BĐT Cô- si cho 2 số không âm, ta có:
\(x+\dfrac{1}{4x}\ge2\sqrt{x.\dfrac{1}{4x}}=2\sqrt{\dfrac{1}{4}}=1\)
Suy ra: \(M=\left(2x-1\right)^2+\left(x+\dfrac{1}{4x}\right)+2010\ge0+1+2010=2011\)
Vậy: \(Min_M=2011\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\)
Bài 2: Tham khảo: với hai số thực không âm a, b thỏa a2 + b2 = 4, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M= ab /(a+b+2) | Câu hỏi ôn tập thi vào lớp 10
Câu a dùng hằng đẳng thức mở rộng là được,tối rồi lười lắm,t giúp câu b
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương:
\(a^2+b^2\geq 2ab\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2(a^2+b^2)\geq a^2+b^2+2ab\\ a^2+b^2+2ab\geq 4ab\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2(a^2+b^2)\geq (a+b)^2\\ (a+b)^2\geq 4ab\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2(a^2+b^2)\geq 4\\ 4\geq 4ab\end{matrix}\right.\Rightarrow a^2+b^2\geq 2; ab\leq 1\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\geq 2; \frac{1}{ab}\geq 1\)
\(\Rightarrow P\geq 2+1=3\)
Vậy $P_{\min}=3$ khi $a=b=1$